250510 模拟赛

分数：\(50+10+15=75\)，被吊起来打，大家随随便便就拿到我分数的 \(3\) 倍 \(+\)。

八点开始。T1 是好玩的交互题，然而只能拿到五十分/求放过。题面下边写着 勇于尝试 然后我把下发的 sample.cpp 交了得到 \(25\) 分。乱写了一堆在八点五十左右拿到了 \(50\) 分然后就走了。

下一次交题居然就是快 \(11:40\) 了，写了 T3 的一个 \(15\) 分暴力交了，过了 \(7\) 分钟交了 T2 的暴力，然后我整场只有五条提交记录。太水了。感觉明显是有 sd 省集后遗症的。

说实话我写总结的时候已经忘了这场比赛了。

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T1 竞赛图

原题

考场上写了一个点向所有点连边的性质（二分找）。

后来知道有一个结论，竞赛图中至少存在一点到其余任何点的距离不大于 \(2\)。证明：设图上出度最大的点为 \(x\)，从 \(x\) 出发有连边的点集为 \(S\)，对于一点 \(y\not \in S\)，如果从 \(S\) 中任意一点出发都没有向 \(y\) 的连边，那么 \(y\) 有向 \(S\) 内所有点的连边，以及向 \(x\) 的连边，度数大于 \(x\)，产生矛盾。

然后考虑设 \(solve(V)\) 返回 \(V\) 中一个到集合内所有点距离 \(\le 2\) 的点。

• 任意选择 \(V\) 中一个点 \(x\)；

• 如果 \(x\) 向 \(V\) 内所有点都有连边，返回 \(x\)，否则选择向 \(x\) 连边的集合 \(V'\)，返回 \(solve(V')\)。

然后就是想一下感觉不太对，但是仔细想一想就会发现它是对的。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=310;
int nid[N],id[N],tmp,cnt;
int e[N][N];
bool sense(int i,int j);
inline bool que(int x,int y)
{
	if(~e[x][y])return e[x][y];
	e[x][y]=sense(x,y);e[y][x]=e[x][y]^1;
	return e[x][y];
}
int altar(int n)
{
	memset(e,-1,sizeof e);
	srand(time(0));
	int tmp=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)id[i]=i;
	while(tmp>1)
	{
		int k=rand()%tmp+1;swap(id[1],id[k]);
		cnt=0;bool f=true;
		for(int i=2;i<=tmp;i++)
		{
			if(que(id[i],id[1]))
			{
				f=false;
				nid[++cnt]=id[i];
			}
		}
		if(f)return id[1];
		swap(id,nid);tmp=cnt;
	}
	return id[1];
}

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T2 拓扑序

原题

很牛的 dp 题。考场上只写了排列。

想到把问题转化为计算每个点在每个位置出现的次数。然后设 \(f_{x,i}\) 表示考虑到 \(x\)，前面有 \(i\) 个点的方案数。所以有：

\[f_{fa_{x},j+k}\leftarrow f_{x,j}\times \binom{j+k-1}{j}\times\binom{siz_{fa_{x}}-j-k-1}{siz_{x}-j-1}\times C \]

其中 \(C\) 为 \(fa_{x}\) 除 \(x\) 子树之外的拓扑序数量。然后发现这个 dp 要对每个点做一次，而每次 dp 的复杂度是 \(O(n^2)\) 的，一共是 \(O(n^3)\)，不能过。

考虑优化，发现每次 dp 的过程是非常相似的。把每种状态看作有向图的一个节点，转移系数为边权，发现 答案的计算可以从 \(f_{i,\star}\) 开始。优化之后只需要做一次 dp，时间复杂度为 \(O(n^2)\)。

这么神的 dp 题下一次要努力写写暴力。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
	int t=0;char h=getchar();
	while(!isdigit(h))h=getchar();
	while(isdigit(h))t=(t<<1)+(t<<3)+(h^48),h=getchar();
	return t;
}
void write(int x)
{
	if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int mod=1e9+7;
const int N=5010;
int lk[N],nxt[N],to[N],len=1;
inline void insert(int x,int y)
{
	to[++len]=y;nxt[len]=lk[x];lk[x]=len;
}
inline ll quikp(ll a,int b)
{
	ll res=1;
	while(b)(b&1)&&((res*=a)%=mod),(a*=a)%=mod,b>>=1;
	return res;
}
ll fac[N],inv[N];
inline ll c(int n,int m)
{
	if(n<m||m<0)return 0;
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
ll g[N];
int siz[N];
void dfs1(int x)
{
	siz[x]=g[x]=1;
	for(int i=lk[x],y;i;i=nxt[i])
	{
		dfs1(y=to[i]);
		siz[x]+=siz[y];
		(g[x]*=g[y]*inv[siz[y]]%mod)%=mod;
	}
	(g[x]*=fac[siz[x]-1])%=mod;
}
ll f[N][N];
ll ans[N];
void dfs2(int x)
{
	ans[x]=f[x][0]*g[x]%mod;
	for(int i=lk[x],y=to[i];i;i=nxt[i],y=to[i])
	{
		ll tmp=g[x]*quikp(c(siz[x]-1,siz[y])*g[y]%mod,mod-2)%mod;
		for(int j=0;j<siz[y];j++)
			for(int k=1;k<=siz[x]-siz[y];k++)
				(f[y][j]+=c(j+k-1,j)*c(siz[x]-j-k-1,siz[y]-j-1)%mod*f[x][j+k]%mod*tmp%mod)%=mod;
		dfs2(y);
	}
}
int n,x;
int main()
{
	// freopen("b.in","r",stdin);

	n=read();fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=quikp(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++)x=read(),insert(x,i);
	for(int i=0;i<n;i++)f[1][i]=read();
	dfs1(1);dfs2(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)write(ans[i]),putchar(' ');puts("");
	return 0;
}

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T3 背包

原题

tag：笛卡尔树

我不会！先走了。