同余定理

Def

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足 a - b 能被m整除，即(a - b) / m 得到一个整数，那么就称整数a 与 b对模 m 同余。

记作：a ≡ b（mod m) 【对模m同余的整数是一个等价关系】

读作：a同余于b模m（或 a 与 b 对模 m 同余）

eg：26 ≡ 2 （mod 12）

显然：

1）若 a ≡ 0 (mod m) ，则 m丨a 【即，a能被m整除】

2）a ≡ b (mod m) 等价于，a 与 b 分别用m去除，余数相同

一些定理

1. 反身性：a ≡ a (mod m)
2. 对称性：若a ≡ b(mod m)，则b ≡ a (mod m)；
3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
4. 同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a + c≡b + d(mod m)；
5. 同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)；

6. 线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么

   (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；

   (2)a * c ≡ b * d (mod m)。

7. 除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 ，则 a≡ b (mod m/gcd(c,m))   ，其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。（特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)；
8. 幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么aⁿ ≡ bⁿ (mod m)；
9. 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)；
10. 若a ≡ b (mod m_i) (i=1,2…n) ，则 a ≡ b (mod [m₁,m₂,…m_n])   ，其中[m₁,m₂,…m_n]表示m₁,m₂,…m_n的最小公倍数