筛法求素数（质数）

• 试除法 O(√n)

 bool isPrime (int x)  //x是否为素数
 {
     for (int i = 2; i < x; i++) 
     {
         if (x % i == 0)
             return false;
     }
     return true;
 }

 

改进：

　　寻找x是否存在新的因子，设新的因子为a， 则可求出另一个为b

　　x = a * b;  令 a <= b

　　b = x /a;

　　所以，a的范围最大和b相等。即，a最大为sqrt (x)。//需要#include <cmath>

 bool isPrime (int x)  //x是否为素数
 {
     for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++) //或写成 i * i <=x
     {
         if (x % i == 0)
             return false;
     }
     return true;
 }

• 埃氏筛法 O (n logn)

首先是素数的Def：

　　一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫素数；否则叫合数。

　　每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。

唯一分解定理：

　　任何一个大于1的自然数N，若N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。

埃氏筛法：

　　根据定义可以得到，合数是某个质数的倍数。那么在数表中，把质数的倍数都去掉，剩下的就都是质数了（得到质数表）

#include <iostream>
#include <cstring>  //memset()
using namespace std;

//等价于flag 相当于标记作用 
bool isPrime[100000005]    ;  //把下标当作数字（范围）  //isPrime[x]  true：x是质数  false： x不是质数  

//正确标记n以内数字的质数状态，得到质数表 
void aiPrime(int n)
{
    memset(isPrime, true, sizeof(isPrime)); //初始化全为true，后续把质数的倍数判断为false 
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;  //特殊情况 
    
    for(int i = 2 ; i <= n; i++)
    {
        if (isPrime[i]) //是质数，将质数的倍数筛出去 
        {
            for( int j = 2; i * j <=n; j++)
            {
                isPrime[i *j] = false;
            }
        }
    }    
}

int main()
{
    int n, cnt = 0;
    cin >> n;
    aiPrime(n); //调用后isPrime[]中质数都为true，合数都为false 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(isPrime[i])
            cnt++;
    }
    cout << cnt; //输出质数个数 
    return 0;
}

• 欧拉筛法 (接近 O(n)

在埃氏筛法中，不同质数的合数可以是同一个，所以在筛选时会有重复。

根据唯一分解定理，只要能唯一地构造出质数序列乘积，每个合数只筛选一次，就是欧拉筛法。

x = a * b * c （a b c的排列方式多样

则规定 a <= b < = c，由此唯一确定一个序列

若存在质数P

P * i = P * a * b * c，有 P <= a <= b <= c，即质数P小于等于i的最小质因子

 

i	质数表	筛除的合数
2	{2}	2 * 2 = 4
3	{2, 3}	2 * 3 = 6 3 * 3 = 9
4（2 * 2）	{2, 3}	2 * (2 * 2) = 8
5	{2, 3, 5}	2 * 5 = 10 3 * 5 = 15 5 * 5 = 25
6（2 * 3）	{2, 3, 5}	2 * (2 * 3) = 12
7	{2, 3, 5, 7}	{14, 21, 35, 49}
8（2 * 2 * 2)	{2, 3, 5, 7}	2 * (2 * 2 * 2) = 16
9(3 * 3)	{2, 3, 5, 7}	{18, 27}

　　

#include <iostream>
#include <cstring>  //memset()
using namespace std;

int prime[100000005];  //存放过程中找到的质数（质数表） 
bool isPrime[100000005]; // 标记数组

int erla(int n)
{
    memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    int cnt = 0;
    
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(isPrime[i])
        {
            prime[cnt] = i;   
            cnt++;            //与上一行可写成 prime[cnt++] = i; 
        }
        //构造质数序列， 质数P * i , P <= i的最小质因子 
        for(int j = 0; j < cnt && prime[j] * i <= n; j++)
        {
            isPrime[prime[j] * i] = false;
            if(i % prime[j] == 0)  //判断p是否 <= i的最小质因子 
                break;
        }
    }
    return cnt;
} 

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << erla(n);
    return 0;
}