组合公式速查(tbd)

公式的第一条是正常式子，后面的是有用的变式。
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二项式

经典公式

1. 定义公式：\(\tbinom{n}{m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}\)
   \(\tbinom{n}{m}=\tbinom{n}{n-m}\)
   \(\tbinom{n}{m}=\frac{n}{m}\tbinom{n-1}{m-1}\)
2. 加法公式：\(\tbinom{n}{m}=\tbinom{n-1}{m}+\tbinom{n-1}{m-1}\)
   \(\tbinom{m+n+1}{n}=\sum_{i=0}^{n} \tbinom{m+i}{i}\)
   \(\tbinom{n+1}{m+1}=\sum_{i=0}^{n} \tbinom{i}{m}\)
3. 经典二项式公式：\((x+y)^n=\sum_{i=0}^n \tbinom{n}{i} x^i y^{n-i}\)
4. 范德蒙德卷积：\(\tbinom{n+m}{k}=\sum_{i=0}^k \tbinom{n}{i}\tbinom{m}{k-i}\)

广义二项式系数

广义二项式系数 \(\tbinom{n}{m}=\frac{n^{\underline m}}{m!}\)

1. 二项式公式：\((x+y)^n=\sum_{i=0}^{\infty} \tbinom{n}{i} x^i y^{n-i},n \in R\)
   \((x+y)^{\underline n}=\sum_{i=0}^{n}\tbinom{n}{i}x^{\underline i}y^{\underline{n-i}}\)
   \((x+y)^{\overline n}=\sum_{i=0}^{n}\tbinom{n}{i}x^{\overline i} y^{\overline{n-i}}\)
2. 上指标反转：\(\tbinom{n}{m}=(-1)^m \tbinom{m-n-1}{m}\)
3. 取一半：\(x^{\underline k}(x-\frac{1}{2})^{\underline k}=\frac{x^{\underline 2k}}{2^{2k}}\)
   \(\tbinom{2n}{n}=\tbinom{-\frac{1}{2}}{n}(-4)^n\)
4. 差分前缀和：\(\Delta^n f(x) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (-1)^{n-i} f(x+i)\)
   \(\Sigma^n f(x) = \sum_{i=0} \binom{n+i-1}{i} f(x-i)\)

Generate Function

OGF

定义：$F(x)=\sum_{n}a_n x^n $，加法是不相交集合的并，乘法是笛卡尔积。

1. \(\sum_{i=0} x^i = \frac{1}{1-x}\)
2. \(\sum_{i=0} a^ix^ik = \frac{1}{1-ax^k}\)
3. \(\sum_{i=0}^{n} \tbinom{n}{i} = (1+x)^n\)
4. \(\sum_{i=0} \tbinom{n+i}{i} = \frac{1}{(1+x)^{n+1}}\)
5. \(\sum_{i=1} \frac{1}{i} = \ln(\frac{1}{1-x})=-\ln(1-x)\)
6. \(\sum_{i=0} \frac{1}{i!} = e^x\)

EGF

定义：$E(x)=\sum_{n}a_n\frac{x^n}{n!} $，乘法是二项加法卷积。

1. \(<1,1,1,\dots> \: \xrightarrow{EGF} \: e^x\)
2. \(<1,-1,1,\dots> \: \xrightarrow{EGF} \: e^{-x}\)
3. \(<1,a,a^2,\dots> \: \xrightarrow{EGF} \: e^{ax}\)
4. \(<1,0,1,\dots> \: \xrightarrow{EGF} \: \frac{e^x+e^{-x}}{2}\)
5. \(<1,a,a^{\underline 2},a^{\underline 3}> \: \xrightarrow{EGF} \: (1+x)^a\)