抽象代数与多项式

前言

做多项式题就像嗑药，出多项式题就像贩毒。—— 某 FJ 知名 OI 选手

多项式对 OI 是非常重要的，一些经典的运用比如线段树维护幺半群，或者是 Polya 定理，数论的一些特例结论，本文希望总结一些多项式教学的相关内容。

我们认为你在阅读本文前拥有高中数学水平。

抽象代数速成

基本知识

集合 \(A,B\) 的笛卡尔积为 \(A \times B={(a,b)|a \in A,b \in B}\)。

集合 \(A\) 上的一个二元映射是 \(A \times A \rightarrow A\)，一个二元关系是 \(A \times A\) 的子集（不需要映射到 \(A\)）

群

群的概念

定义：非空集合 \(G\) 上定义了一个二元关系 \(\cdot\)，满足：

• 结合律，即 \((a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\)。
• 幺元存在，即存在 \(e \in G\) 使得 \(e \cdot a=a \cdot e=a\)
• 逆元存在，对于所有 \(a \in G\)，都存在 \(b \in G\) 使得 \(a \cdot b= b \cdot a=e\)

则称 \(G\) 关于运算 \(\cdot\) 构成一个群，记为 \((G,\cdot )\)，群的幺元唯一，逆元唯一，且满足消去率。

阶是群所含元素的个数，记为 \(|G|\)。\(|G|\) 有限称为有限群，否则称为无限群。

常见的群

• \((Z,+),(R,\times)\)
• 对称群：集合 \(M\) 上的所有置换，即自 \(M\) 到 \(M\) 的双射，构成群 \(S_M\)
• 交错群：\(S_n\)中所有偶置换（对换分解中对换个数为偶数的置换）构成\(S_n\)的子群，称为\(n\)级交错群，记为\(A_n\)。

需要注意的是，正整数关于加法并不是一个群，因为逆元不存在。

弱化的群

• 半群是只满足结合律的群
• 存在幺元的半群是幺半群

Abel 群

我们将 \(a \cdot b=b \cdot a\) 的群称为 Abel 群：

• 加法是 Abel 群。
• \(n \ge 3\) 时，对称群 \(S_n\) 并非 Abel 群。

群论

子群的定义与等价命题

设\(G\)为群，\(H\)为\(G\)的非空子集。若\(H\)在\(G\)的运算下自身构成群，则称\(H\)为\(G\)的子群，记为\(H \leq G\)。

子群的等价判别条件（只需满足其一）：

1. 封闭性与逆元存在：对任意\(a,b \in H\)，有\(a \cdot b \in H\)且\(a^{-1} \in H\)；
2. 逆乘积封闭：对任意\(a,b \in H\)，有\(a \cdot b^{-1} \in H\)（或写作\(H^{-1}H \subseteq H\)，其中\(H^{-1} = \{h^{-1} \mid h \in H\}\)）。

注意：证明\(H\)为子群时，必须先验证\(H\)非空（通常取单位元\(e \in H\)，或存在某个元素\(a \in H\)）。

由子集生成的子群

对于群 \(G\) 和它的非空子集 \(S \subseteq G\)，如果 \(H\) 是包含 \(S\) 的 \(G\) 的子群中（包含关系）最小的，则子群 \(H\) 称为由子集 \(S\) 生成的子群，并记作 \(\langle S \rangle\)。特别地，如果 \(S = \{x\}\) 是单元素集合，则 \(\langle S \rangle\) 也记作 \(\langle x \rangle\)，称为由元素 \(x\) 生成的子群。

如果群 \((G,\cdot)\) 的子集 \(S \subseteq G\) 满足 \(\langle S \rangle = G\)，则称 \(S\) 是 \(G\) 的生成子集。生成子集 \(S\) 中的元素称为生成元。

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