第三章作业

实践报告
1.1 递归方程式、定义、边界条件
（1）状态定义
设：dp[i][j]：表示从起点 (1,1) 走到网格位置 (i,j)\时，所需的最小通行总费用。cost[i][j]：网格第 i 行第 j 列方格本身的费用。
（2）递归方程（状态转移方程）
到达 (i,j)只有两种合法来源：上方格子 (i-1,j)（向下走一步）、左侧格子 (i,j-1)（向右走一步）。
dp[i][j] = cost[i][j] + min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
（3）边界条件
1.起点：dp[1][1] = cost[1][1]，起点的最小费用就是自身费用。
2.第一行(i=1,j>1)：第一行不能从上方来，只能从左边依次向右走：dp[1][j] = dp[1][j-1] + cost[1][j]
3.第一列(j=1,i>1)：第一列不能从左边来，只能从上边依次向下走：dp[i][1] = dp[i-1][1] + cost[i][1]

1.2 填表法说明
表的维度：二维数组 dp[N+1][N+1]（下标从 1 开始，方便处理边界，也可以用 0 下标），是 N 行 N 列的 DP 表。

填表范围：先填第 1 行、第 1 列（边界）
再依次填充剩下 i>=2,j>=2的内部单元格

填表顺序:按从上到下、从左到右的顺序填表：先填第一行从左往右；再填第一列从上往下；之后逐行遍历，每行内部从左向右逐个计算 dp[i][j]。
原问题最优值最终答案就是dp[N][N]，即 DP 表右下角元素，代表从起点走到终点(N,N)的最小总费用。

1.3时间复杂度：O(N^2) 一共NxN个 DP 状态，每个状态的转移仅做一次取 min 和加法，是常数O(1)操作。
空间复杂度：O(N^2)

对动态规划算法的理解和体会：动态规划核心思想是拆分问题、存储子问题答案，避免重复计算，适合具有最优子结构和重叠子问题的问题。一个大问题的最优解，可以由它子问题的最优解组合得到