bzoj1044 [HAOI2008]木棍分割

Description

有n根木棍, 第i根木棍的长度为\(L_i\), \(n\)根木棍依次连结了一起, 总共有\(n - 1\)个连接处. 现在允许你最多砍断\(m\)个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果\(mod\) 10007。。。
\(n \leqslant 50000\)，\(0 \leqslant m \leqslant min(n - 1, 1000)\)，\(0 \leqslant L_i \leqslant 1000\)。

Solution

第一问是一个显然的二分贪心搞定。
第二问是这道题的核心部分。容易想到一个简单dp，\(f[i][j]\)表示当前考虑到第\(i\)个点, 截取了\(j\)个木棍的方案树，得\(f[i][j] = \Sigma{f[k][j - 1]} (k < i, sum[i] - sum[k] \leqslant ans1)\)。空间时间都会炸。空间很好优化，滚动一下就好了。时间略微难一点，但是还是好想，因为前缀和是单调的，所以用单调队列可以优化。如果\(sum[i]-sum[k]<=ans\)，就把计算后的值塞到队列里去。

#include<map>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define drp(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define fech(i, x) for(int i = 0; i < x.size(); i++)
#define N 50001
#define ha 10007

inline int read() {
	int x = 0, flag = 1; char ch = getchar();
	while (ch > '9' || ch < '0') { if (ch == '-') flag = -1; ch = getchar(); }
	while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
	return x * flag;
}
inline void write(int x) { if (x >= 10) write(x / 10); putchar(x % 10 + '0'); }

int n, m;
int a[N], sum[N];
int f[2][N], q[N];
int ans1, ans2;

bool check(int x) {
	int now = 0, t = 1;
	rep(i, 1, n)
		if (now + a[i] <= x) now += a[i];
		else {
			if (a[i] > x || t >= m) return 0;
			t++; now = a[i];
		}
	return 1;
}

int binary(int l, int r) {
	if (l == r) return l;
	int mid = l + r >> 1;
	if (check(mid)) return binary(l, mid);
	return binary(mid + 1, r);
}

int main()
{
	scanf("%ld%ld", &n, &m); m++;
	rep(i, 1, n) a[i] = read(), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	ans1 = binary(0, sum[n]);
	printf("%ld ", ans1);
	rep(i, 1 ,n) if (sum[i] <= ans1) f[1][i] = 1; else break;
	int now = 1;
	rep(j, 2, m) {
		now ^= 1;
		memset(f[now], 0, sizeof f[now]);
		memset(q, 0, sizeof q);
		int k = n + 1;
		drp(i, n, 2) {
			if (i > k) f[now][i] += (q[k] - q[i]) % ha; else k = i;
			while (k > 1 && sum[i] - sum[k - 1] <= ans1) {
				k--;
				(f[now][i] += f[now ^ 1][k]) %= ha;
				q[k] = (q[k + 1] + f[now ^ 1][k]) % ha;
			}
		}
		(ans2 += f[now][n]) %= ha;
	}
	printf("%ld", ans2);
	return 0;
}