博弈论Nim游戏个人证明

题目背景

有 \(n\) 堆石头，每堆石头有 \(a_i\)​ 个，两个玩家轮流取走任意一堆的任意个物品，但不能不取。

取走最后一堆物品的人获胜。

已有证明

对于 OI Wiki 或者《信息学竞赛进阶指南》等，它们的证明方式稍显晦涩，难懂。

具体可参见

个人证明

基本思路为：从特殊到一般，由浅入深

一.从特殊代入思考

首先我们知道，对于没有石头的情况，先手必败。 ··· ···局面1

同样的，对于 1 堆石头的情况，先手必胜。因为一下取完后，后手无石可取，就输了。 ··· ··· 局面2

其次我们看看以下情况：偶数行石头（列数相等）

··· ··· 局面3

此时先手怎么拿，后手怎么拿，就能使先手必败：

• 比如先手把第一行全拿走，后手把第二行全拿走，先手败。

• 或者先手在第一行拿一个，后手在第二行拿一个，再重复，也是先手败。

不难想出，双方的最优策略都是把自己变成局面3的“后手”。

把自己变成局面3后手的充分条件（应该也是必要条件）是：

对于任意第n行来讲，要多出至少一个，即下面的局面4：

··· ··· 局面4

不难发现此时先手取完第一行第三个后，变成了局面3，则后手必败（等价于先手必胜）

二.加深思考，提出猜想

不难发现，上述过程中，我们可以采用“合并”的思路。

局面3和局面1的结果相同，我们把局面3看作局面1，然后将局面3代入局面4，局面4就变成了局面2。

——（局面一是0个石头，“把局面3看作局面1”相当于“忽略局面3”，局面4的局面3一旦被忽略，就剩下一个了，就变成了局面2）

如果看不懂，请尝试手动模拟这一过程，加深理解。

上述句子是本猜想的重中之重，请读者务必完全读懂后继续阅读以下内容！！！

所以我们发现，局面3、4甚至更多复杂的局面是可以简化的！

不如随便乱画点出来，试着简化：

尝试1

先把第二、三行忽略，只看一、四行，再把第一列忽略。

发现只剩下一个石头，是先手必胜的局面。

事实如此吗？

我们可以试试。

先手取第四行第二个，此时可看作两个不同的局面3合在一起，后手怎么拿，先手就怎么拿，这样就可以胜利了。

所以显然，简化此种情况成立。

尝试2

此种情况比上述情况多了下面一个

于是在忽略二、三行后再忽略第一列（不包括最后一个，因为不满足局面3）时发现，当前局面是

注意，此时看似像局面3，但并不是局面3，我们可以近似地看作两个石头并列

即

不难发现这也是先手必胜的.

同样的，我们可以试试怎么拿.

先手直接取走第四行所有石子，此时转化为局面3，使得后手必败（等价于先手必胜）.

总结

那我们找找规律，发现我们只不过是把所有的，可能存在的局面3全部消除了，再看剩下的是先手还是后手赢.

可以理解为：先手后手的最优策略都是往局面3上靠近，所以他们都没必要花费一次行动机会，来破坏局面3.

我们仔细一看，不难发现“消除存在的局面3”操作无非就是 \(xor\) 计算。把它们全部 \(xor\) 后得到0就证明，局面原本是先手必败的局面3；得到非0就证明是先手必胜的局面4.

综上，所有数 \(xor\) 后得到0就是先手必败，相反就是先手必胜.

证毕.