对于 x^pi（即x的π次方），x＞0 的证明

今天数学课上刚学幂函数，老师抛出了这样一个问题：

对于 \(x^\pi\) ，是否必须有 \(x\ge0\) ？

以下是本人的证明思路.

对于 \(f(x)={x^\pi}\) 这个函数来讲，\(\pi\) 是一个无理数，为了方便计算，我们要想一个办法来表示 \(\pi\) 的精确值.

怎么搞？极限！

注意到，\(\pi\) 显然可以被表示为

\[\lim_{n\to\infty} \frac{\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor}{10^n} \]

所以有

\[f(x)=\lim_{n\to\infty}x^{\frac{\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor}{10^n}} \]

显然可转化为

\[f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[10^n]{x^{\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor}} \]

对于

\[2\mid\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor \]

显然不能确定其是否成立.

换句话说 \(\left\lfloor10^n\pi\right\rfloor\) 并不一定是偶数，所以如果想让原式恒成立，总要有 \(x\ge0\) 成立.

证毕.