E - Make Them Equal题解（cf原题类似01背包）

在讲这个题之前先讲一遍 01 背包吧；

在一些例题之中，每一个物品只有两种状态：拿或者不拿，可以对应二进制中的 0 和 1，所以我们称呼这种问题为 01 背包问题。

在这类问题中我们会知道第 i 个物品的重量 wi 和价值 vi ，以及背包的容量 W， 我们需要求得将 n 个物品放入背包里面，在背包容量允许下能获取的最大价值。

我们设 dp 状态 f ( i,  j ) 为只能放前 i 个物品时，容量为 j 的背包能获取的最大总价值。

假如说我们已经处理了 i - 1 个物品，那么第 i 个物品如果不拿，背包的剩余容量不会改变，背包中物品的价值也不会改变，所以说这个时候的最大价值应该为：f ( i - 1, j ) ;

那么如果当前物品放入背包时，背包的容量会减小 wi ，而他的价值会增加 vi，所以这个时候的最大价值为：f ( i - 1, j - wi ) + vi 。

那么此时我们就可以明确 dp 状态方程 ： f ( i , j ) = max( f ( i - 1,  j ) ,  f ( i - 1, j - wi ) + vi );

而此时的状态方程可以用滚动数组进行优化将其变成一维的形式：f ( i ) 表示当前背包容量为 i 时的最大价值。

dp 状态方程就成了：f ( i ) = max ( f ( i ) , f ( i - wi ) + vi ) ;

这里附上一个01背包板子：

1 for (int i = 1; i <= n; i++)//01板子
2     for (int l = W; l >= w[i]; l--) 
3         f[l] = max(f[l], f[l - w[i]] + v[i]);

 

 我们再来看题目

[题目传送门](https://codeforces.com/problemset/problem/1633/D)

题目大意：给你一个只由 1 构成的数组 a，有两个数组 b , c， 如果将ai经过一系列操作后变成 bi，

即可获得ci的得分，已知可以操作k次，求最大分数

每次操作只能是 ai + ai / x（x为整数）。

这里我们假设 ai 到 bi 的步数为 mi， 就可以理解成01背包问题了，我需要消耗 m 次操作数换来相应的
分数 ci， 最大操作数为 k 。

这里我们来观察一下，mi 可以对应 01 背包里面的 wi ， ci 可以对应 01 背包里面的 vi ， 而 k 值可以对应 01 背包里面的 W 容量；

那如果我们知道了 mi 的值，是不是就可以直接套用 01 背包了。

然后的思路就是想办法去找到 ai 到 bi 所对应的 mi 值，可以跑个 bfs 然后预处理一下；

我的是暴力跑循环QAQ；

这里的 g [ i ] 表示 1 到 i 的最少操作步数，我在这里采用了暴力的方法去循环求得 g [ i ]  的最小值。

for (int i = 1; i <= N; i++)//通过循环求得 1 到 N 每一个常数所需要的操作数
    {
        for (int j = 1; j <= i; j++)//这里 j 就是上面操作公式中对 X 整数的枚举
        {
            if (i + i / j <= N)
            {
                g[i + i / j] = min(g[i + i / j], g[i] + 1);//通过枚举各种情况去求 g[i] 的最小值
            }
        }
    }

**需要注意1到1的操作数是 0， 所以　g [ 1 ] = 0 ; 

下面是完整代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <set>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ci const int
#define PLL pair<ll, ll>
#define PII pair<int, int>
#define PSI pair<string, int>
#define MAX1 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) x &(-x)
using namespace std;
ci N = 1e3 + 7;
int g[N];
void init()//预处理初始化
{
    memset(g, MAX1, sizeof g);
    g[1] = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++)//通过循环找到 1 到 N 之间每一个常数的最小操作步数
    {
        for (int j = 1; j <= i; j++)
        {
            if (i + i / j <= N)
            {
                g[i + i / j] = min(g[i + i / j], g[i] + 1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        vector<int> b(n + 1), c(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> b[i], b[i] = g[b[i]];//因为之前预处理过，所以这里就可以之间将 bi 更新成 mi
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> c[i];
        vector<int> f(k + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++)//然后就是 01 背包问题套板子了
        {
            for(int j = k; j >= b[i]; j--)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j - b[i]] + c[i]);
            }
        }
        cout << f[k] << "\n";
    }
    return 0;
}