排序网络

排序网络

• 这篇文章和ACM无关，虽然参考自IOI候选队论文（（
• 可以构造时间复杂度 \(O(\log^2 n)\) 的排序网络
• 比较器有两个输入与两个输出，\(x'=min(x,y),y'=max(x,y)\) 可以比较两个值并交换，复杂度 \(O(1)\)，多个比较器可以并行运算
• 比较网络由比较器和传数值的线路组成，有 \(n\) 个输入线路和 \(n\) 个输出线路

// 输入 [4, 3, 2, 1]，第一步后变 [2, 3, 4, 1]，第二步后变 [2, 3, 1, 4]
4 --X-- 2 ----- 2
3 --|-- 3 ----- 3
2 --X-- 4 --X-- 1
1 ----- 1 --X-- 4

• 排序网络是无论输入是什么，输出总是单调递增（不减）的比较网络
• \(0-1\) 原则为，如果一个比较网络对任意 \(01\) 的输入都能排序，那么它也能对任意一般的输入进行排序
• 下面都只讨论数值为 \(01\) 的情况
• 双调序列：先增后减（\(000111000\)）或先减后增（\(111000111\)）的序列
• 半清洁器：输入长度为 \(n\)（\(n\) 是偶数） 的双调序列 \(a\)，输出两个长度为 \(\tfrac n 2\) 的双调序列 \(a'_0,a'_1\)，满足 \(\forall i, a'_0[i]=0\) 或 \(\forall i, a'_1[i]=1\)（其中一个是清洁的）。只要拿 \(n\) 个比较器连接 \(a[i]\) 和 \(a[i+\tfrac n 2]\) 即可，\(O(1)\)

0 --X----------- 0
0 --|--X-------- 0
1 --|--|--X----- 0
1 --|--|--|--X-- 0
1 --X--|--|--|-- 1
0 -----X--|--|-- 0
0 --------X--|-- 1
0 -----------X-- 1

• 双调排序网络：将长度为 \(n\) 的双调序列排序。先连一个清洁器，再对两个输出序列都连清洁器，不断重复，\(O(\log n)\)

0 --X-------- 0 --X---- 0 --X---- 0
0 --|-X------ 0 --|-X-- 0 --X---- 0
1 --|-|-X---- 0 --X-|-- 0 ----X-- 0
1 --|-|-|-X-- 0 ----X-- 0 ----X-- 0
1 --X-|-|-|-- 1 --X---- 1 --X---- 0
0 ----X-|-|-- 0 --|-X-- 0 --X---- 1
0 ------X-|-- 1 --X-|-- 1 ----X-- 1
0 --------X-- 1 ----X-- 1 ----X-- 1

• 合并网络：将两个有序序列排序。修改双调排序网络的第一个清洁器即可，\(O(\log n)\)

0 --X--------X----X---- 0
0 --|-X------|-X--X---- 0
1 --|-|-X----X-|----X-- 0
1 --|-|-|-X----X----X-- 0
0 --|-|-|-X--X----X---- 0
0 --|-|-X----|-X--X---- 1
0 --|-X------X-|----X-- 1
1 --X----------X----X-- 1

• 最后用归并排序的方法连接合并网络，\(O(\log^2 n)\)

1 --X---- 0 --X----X---- 0 --X--------X----X---- 0
0 --X---- 1 --|-X--X---- 0 --|-X------|-X--X---- 0
1 ----X-- 0 --|-X----X-- 1 --|-|-X----X-|----X-- 0
0 ----X-- 1 --X------X-- 1 --|-|-|-X----X----X-- 0
0 --X---- 0 --X----X---- 0 --|-|-|-X--X----X---- 0
1 --X---- 1 --|-X--X---- 0 --|-|-X----|-X--X---- 1
0 ----X-- 0 --|-X----X-- 0 --|-X------X-|----X-- 1
0 ----X-- 0 --X------X-- 1 --X----------X----X-- 1

参考：IOI中国国家候选队论文 - 2002 符文杰