P13537

可能更好的阅读体验

Statement

给定 \(n\) 点 \(m\) 边连通图，构造 \(k\times k\) 方格，值域 \([1,n]\cap\mathbb{Z}\)，满足 \(u,v(u\neq v)\) 有边当且仅当 \(u,v\) 在方格中四相邻位置出现过。

满分限制：\(k\le2n\)。

Solution

首先考虑树，发现直接填欧拉序即可。

找出任意 dfs 树，还需加入返祖边。

一个简单的想法是每个点在欧拉序中选一个位置并将返祖边插入，如：

a x a b c x c
a a a b c c c
a x a b c x c
a a a b c c c

可以做到 \(4n\times 2n\)。

考虑优化，首先格子数已经爆了，考虑上下两层共用格子，如：

a x a b c x c
a a x a b c x
a x a b c x c

可以做到 \(4n\times n\)。

这样格子数已经可以接受了，但是形态太差了。

好像有难写的 \(3n\times 3n\) 我没写，尝试把树分成两部分也不行。

于是先把代码写了，submission。

试了一下发现只有倒三角部分是实际有效的，因为深度为 \(d\) 的点在欧拉序中前后必然有至少 \(d\) 个，而返祖边至多只有 \(d-1\) 条。

那么就非常契合斜线，因为方格中的斜线也是中间多两边少的形态。

于是把原来第一行放到方格右上边缘，向左下延伸，如：

euler tour order:1 2 1 3 4 3 1

first row:1 x 1 2 x 2 1 3 x 3 4 x 4 3 1

1 x 1 2 x 2 1 3
x 1 2 x 2 1 3 x
1 2 x 2 1 3 x 3
2 x 2 1 3 x 3 4
x 2 1 3 x 3 4 x
2 1 3 x 3 4 x 4
1 3 x 3 4 x 4 3
3 x 3 4 x 4 3 1

可以做到 \(2n\times 2n\)，submission。