P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易 (最短路/分层图)
[NOIP2009 提高组] 最优贸易
题目描述
$C \(国有\) n \(个大城市和\) m$ 条道路，每条道路连接这 \(n\)个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 \(m\) 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1 $条。
$C $国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 \(C\) 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 \(C\) 国 n 个城市的标号从 \(1~ n\)，阿龙决定从 $1 $号城市出发，并最终在 \(n\) 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 \(n\) 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 \(C\) 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 $C $国有 \(5\)个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设 \(1~n\) 号城市的水晶球价格分别为 \(4,3,5,6,1\)。
阿龙可以选择如下一条线路：\(1\)->\(2\)->\(3\)->\(5\)，并在 $2 \(号城市以\) 3$ 的价格买入水晶球，在 \(3\)号城市以$ 5 $的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。
阿龙也可以选择如下一条线路$ 1$->\(4\)->\(5\)->\(4\)->\(5\)，并在第$1 \(次到达\) 5$ 号城市时以 $1 $的价格买入水晶球，在第 \(2\) 次到达$ 4$ 号城市时以$ 6$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为$ 5$。
现在给出 $n \(个城市的水晶球价格，\)m$ 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。
输入格式
第一行包含 \(2\) 个正整数$ n $和 \(m\)，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。
接下来 \(m\) 行，每行有$ 3 \(个正整数\)x,y,z$，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 \(z=1\)，表示这条道路是城市$ x \(到城市\) y \(之间的单向道路；如果\) z=2$，表示这条道路为城市 $x \(和城市\)y $之间的双向道路。
输出格式
一 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 \(0\)。
样例 #1
样例输入 #1
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
样例输出 #1
5
提示
【数据范围】
输入数据保证 \(1\) 号城市可以到达$ n $号城市。
对于 10%的数据，\(1≤n≤6\)。
对于 30%的数据，\(1≤n≤100\)。
对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。
对于 100%的数据，\(1≤n≤100000\)，\(1≤m≤500000\)，\(1≤x\)，\(y≤n\)，\(1≤z≤2\)，\(1≤\)各城市
水晶球价格\(≤100\)。
NOIP 2009 提高组 第三题
代码
常规最短路解法
// Problem: 最优贸易
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/343/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Created Time: 2022-07-12 14:59:10
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
//fw
#include<bits/stdc++.h>
#define zp ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define pii pair <int, int>
#define pll pair <ll, ll>
#define endl '\n'
#define il inline
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lc u<<1
#define rc u<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+10,M=2e6+5;
int hs[N],ht[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int n,m;
int dmin[N],dmax[N];
bool st[N];
int q[N];
void spfa(int h[],int dist[],int type)//因为可能会重复更新所以不能用dijkstra
{
int hh=0,tt=1;
if(type==0)//求最小值
{
memset(dist,0x3f,sizeof dmin);
dist[1]=w[1];
q[0]=1;
}
else//求最大值
{
memset(dist,-0x3f,sizeof dmax);
dist[n]=w[n];
q[0]=n;
}
while(hh!=tt)
{
int t=q[hh++];
if(hh==N)hh=0;
st[t]=false;
for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if((type==0&&dist[j]>min(dist[t],w[j]))||(type==1&&dist[j]<max(dist[t],w[j])))
{
if(type==0)dist[j]=min(dist[t],w[j]);
else dist[j]=max(dist[t],w[j]);
if(!st[j])
{
q[tt++]=j;
if(tt==N)tt=0;
st[j]=true;
}
}
}
}
}
void add(int h[],int a,int b)
{
e[idx]=b;
ne[idx]=h[a];
h[a]=idx++;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
memset(hs,-1,sizeof hs);//正向图，1-i求最小值
memset(ht,-1,sizeof ht);//反向图 求i-n最大值，建反图是为了以n为起点走到i
while(m--)
{
int a,b,t;
cin>>a>>b>>t;
add(hs,a,b);add(ht,b,a);
if(t==2)
{
add(hs,b,a);add(ht,a,b);
}
}
spfa(hs,dmin,0);//求最小值
spfa(ht,dmax,1);//求最大值
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dmax[i]-dmin[i]);//枚举买入和卖出的分界点
cout<<res<<endl;
return 0;
}
分层图解法 参考自AcWing 341. 最优贸易 分层图解法+SPFA
// Problem: P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1073
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Created Time: 2022-07-12 15:51:43
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
//fw
#include<bits/stdc++.h>
#define zp ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define pii pair <int, int>
#define pll pair <ll, ll>
#define endl '\n'
#define il inline
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lc u<<1
#define rc u<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=3e5+10,M=6e6+5;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dist[N];
bool st[N];
int n,m;
void add(int a,int b,int c=0)
{
e[idx]=b;
w[idx]=c;
ne[idx]=h[a];
h[a]=idx++;
}
void spfa()
{
memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
queue<int>q;
q.push(1);
st[1]=true;
dist[1]=0;
while(q.size())
{
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if(dist[j]<dist[t]+w[i])
{
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j])
{
st[j]=true;
q.push(j);
}
}
}
}
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int c;
cin>>c;
add(i,i+n,-c);//建立买入边
add(i+n,i+2*n,c);//建立卖出边
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
add(x,y),add(x+n,y+n),add(x+2*n,y+2*n);//在同一层图内边权为0
if(z==2)
{
add(y,x);add(y+n,x+n),add(y+2*n,x+2*n);
}
}
spfa();//求最长路即可
cout<<dist[3*n];
return 0;
}
