已知数字和的自然数最值

已知数字和的最大自然数和最小自然数

2022.9.16

 

辅导小涵，发现了一道经典的小学四年级数学题，思考了一下，得到了结果。顺便将这类问题进行了扩展，一劳永逸的解决了此类问题。

一个自然数，各位数字互不相同，各位数之和为17，这个数的最大值可能是多少？最小值可能是多少？

先考虑最小值。如果要自然数最小，其位数应该越少越好。位数和为17，如果是1位数，是无法满足条件的，因为最大的1位数是9。如果是2位数，则可以是89或98。3位数也可以，但是3位数大于2位数。所以该数的最小值是89。

再考虑最大值。如果要自然数最大，其位数应该越多越好，而且低位数字越小越好，高位数字越大越好，这样既可以保证位数更多，也可以保证数值更大。例如个位是1，十位是2，百位是3，千位是4，万位是(17-1-2-3-4=7)，组合起来就是74321，这是不是最大值呢？不是的，因为还有个数字0没有考虑，如果将0算进来，加到最后1位，最大值就是743210，这就是最大值。它满足题目的所有条件，也是最大值。如果将0加到其他位，则比743210小，不是最大值。

为什么求最小值时不需要0，而求最大值需要0呢？因为求最小值需要位数越少越好，如果加了0，占了1位，就达不到最小的要求。而求最大值时，需要位数越多越好，这时候加0来增加位数（而且是加在最低位）是最好的方式。

扩展一下思维，对于任意的位数和n，能否找到一般规律来求最小值和最大值呢？这是可以的，基本原则跟上面的分析过程是一样的。不过需要对位数和n进行分段，不同的分段得到的结果不一样。当n大于45时，因为1到9的数字之和是45，超过45之后就会出现数字重复的问题，使得此题无解。所以需限定n小于等于45才能得到正确的解。

对于最小值，其位数越少越好。我们将n分解成若干大数字之和，确保位数少，同时将大数字放低位，小数字放高位，确保数值更小。低位从9开始放，然后依次往高位放8、7、6.......放了后要检查数字是否有重复，如果有重复，就不满足要求，需要重新分解和排布。

对于最大值，其位数越多越好。我们将n分解成若干小数字和一个大数字之和，确保最高位的大数字越大越好。排布的时候也要注意数字重复问题。数字的排列原则是：最高位放最大数字，其他位从高位到十位的数字依次递减，然后在最低位加上0。

最后我通过数字分段，推导出了对于指定n对应的最小值和最大值的计算公式，如下表：

n	最小值
[1,9]	n
[10,17]	10(n-9)+9
[18,24]	100*(n-17)+89
[25,30]	1000*(n-24)+789
[31,35]	10000*(n-30)+6789
[36,39]	100000*(n-35)+56789
[40,42]	1000000*(n-39)+456789
[43,44]	10000000*(n-42)+3456789
45	123456789
大于45	无解

 

n	最大值
[1,2]	10*n
[3,5]	(n-1)*100+10
[6,9]	(n-3)*1000+210
[10,14]	(n-6)*10000+3210
[15,20]	(n-10)*100000+43210
[21,27]	(n-15)*1000000+543210
[28,35]	(n-21)*10000000+6543210
[36,44]	(n-28)*100000000+76543210
45	9876543210
大于45	无解