智力竞赛的人数求解

智力竞赛，共有A,B,C三题，每题或得0分或得满分。结果无人得0分，三题全对1人，答对两题有15人。答对A题人数和答对B题人数之和为29人，答对A题人数和答对C题的人数之和为25人，答对B题和C题人数之和为20人，求该班人数为（）？

 

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解答方法1：

设该班有n人，每人回答3道题目，则所有答案有3n个，每个题目的答案可以用0和1表示，1表示答对，0表示答错。使用以下矩阵：

 

| 1 1 1|

| A B C|

|……..|

|……..|

|A B C|

 

此矩阵共有n行，每行即是1个人做3道题目的答案，是由0和1组成的，第1行表示三题全对的那个人，剩下的就是答对2题或者答对1题的人。

 

第1列代表n个学生对A题的选择答案，第2列代表n个学生对B题的选择答案，第3列代表n个学生对C题的选择答案。

 

因为答对两题有15人，所以假设第2行至第16行是答对两题的人，第17行至最后1行是仅答对1题的人。总人数是n，则仅答对1题的人的数量是n-15-1=n-16。

 

于是，矩阵简化如下：

| 1 1 1|

| A B C|   答对2题的，共15行，据此推算有15个0

|A B C|    答对1题的，共n-16行，据此推算有2*(n-16)个0

 

设第1列中答对A题的数量是a个，第2列中答对B题的数量是b个，第3列中答对C题的数量是c个，根据“答对A题人数和答对B题人数之和为29人，答对A题人数和答对C题的人数之和为25人，答对B题和C题人数之和为20人”，列出方程如下：

a+b=29

a+c=25

b+c=20

 

解方程，得出：

a=17, b=12, c=8;

 

也就是说，答对A题的数量是17个，答对B题的数量是12个，答对C题的数量是8个。

 

根据刚才推算的0(即答错)的个数是15+2*(n-16)个，1的个数是17+12+8=37个。所有1和0的个数的和，就是3n个，列方程如下：

 

15+2*(n-16)+37=3n

 

解出：n=20

即，该班人数为20个。

 

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解答方法2--简化解法：

设仅答对1题的人有m个，则答错的答案共有15+2m个。

根据“答对A题人数和答对B题人数之和为29人，答对A题人数和答对C题的人数之和为25人，答对B题和C题人数之和为20人”，列出相应方程，解出答对的答案共有(29+25+20)/2=37个。而人数总数是1+15+m。

根据答案数量守恒原理，列出方程：

15+2m+37=3*(1+15+m)

 

解得m=4，全班人数为16+m=16+4=20(个)。

 

2011-05-17 14:08:53