一道值得思考的数论题(六星级)

辅导小孩子数学，发现了这道奥数题，难度是六星（一般题目为三星或者四星，五星级的题目也很少），于是认真思考了下，找到了解答方法。题目需要一定的逻辑思维能力。如果小孩子能独立解答出来，她(他)的思维能力就达到了一个新高度。

 

题目：

张老师想到两个正整数x,y，y>=x>=1，她将x+y的值告诉A，将xy的值告诉B。A和B都知道y>=x>=1。

 

A和B有如下对话：

B：我不知道x+y的值。

A：给你一个提示，x+y<=20。一旦你能通过这个提示确定x+y，我也知道xy的值。

B：我知道x+y的值了。

求x值和y值。

 

 

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解答：

一、确定x和y的范围和约束条件

首先从xy开始分析。如果xy是素数，那么其因数分解只能分解为1和自身(例如17=1*17)，没有其他分解方式。这样B根据xy值就可以确定x=1和y值，从而知道x+y的数值，与条件不符。

所以xy一定是合数。

 

从x+y<=20和x>=1得知，y<=19。

 

如果x=1,则xy=y，y必为合数，且小于20。小于20的合数进行因数分解后，各个分解方式得到的因数之和都小于20，无法唯一判断出y值。所以x>1，y<=18。

 

xy至少有两种分解方式，一种是x*y，一种是1*xy，要想通过x+y<=20来保留一个分解方式，应该是排除1*(xy)，保留x*y，因为在y>=x>=2的情况下xy>=x+y，所以排除大者，保留小者。

所以1+xy>20 得到 xy>19。

 

因为 (x+y)(x+y)>=4xy>=4*19=76

所以 x+y>=9

 

由 y>=x, x+y>=9  得 y>=5

 

由y>=x和x+y<=20 得  x<=10

 

综合上述结果可知x和y的取值区间和约束条件如下：

2<=x<=10

5<=y<=18

9<=x+y<=20

xy>19

 

二、质因数分解分析

我们先将x和y作为素数来分析。将18以内的素数列出来(2，3，5，7，11，13，17)，结合约束条件，进行组合分析：

 

x	y	xy	x+y	x+y情况
2	11	22	13
2	13	26	15
2	17	34	19
3	7	21	10	与5+5重复，排除10
3	11	33	14	与7+7重复，排除14
3	13	39	16	与5+11重复，排除16
3	17	51	20	与7+13重复，排除20
5	5	25	10	重复
5	7	35	12
5	11	55	16	重复
5	13	65	18	与7+11重复，排除18
7	7	49	14	重复
7	11	77	18	重复
7	13	91	20	重复

 

表中的 x和y都是素数，所以xy的分解方式是唯一的，即xy=x*y。根据上述约束条件得到表中14组x和y。其中10、14、16、18、20等5组x+y存在重复值，使得xy不唯一，因此A不能根据已知的x+y来对应xy。于是排除这5组x+y值。另外4组x+y值（12、13、15、19）备用。

 

三、x+y加数分解的排除分析

因为x+y的范围是9-20，共有12个值，排除了5组x+y值，还剩以下7组x+y值：9、11、12、13、15、17、19。现在我们对x+y进行分解，逐一排除相应的x+y值。

 

x+y	x	y	xy	xy分解(除去1*xy)	排除情况
9	4	5	20	4*5=2*10	20的因数分解不唯一，排除9
11	2	9	18	2*9=3*6
11	3	8	24	2*12=3*8=4*6
11	4	7	28	4*7=2*14
11	5	6	30	5*6=2*15=3*10	11对应的xy的因数分解均不唯一，排除11
12	3	9	27	唯一
12	5	7	35	唯一	与3+9重复，排除12
15	2	13	26	唯一
15	3	12	36	2*18=3*12=4*9=6*6
15	4	11	44	唯一	与2+13重复，排除15
17	2	15	30	2*15=5*6=3*10
17	3	14	42	3*14=6*7
17	4	13	52	唯一
17	5	12	60	4*15=6*10
17	6	11	66	唯一	与4+13重复，排除17
19	2	17	34	唯一
19	8	11	88	唯一	与2+17重复，排除19

 

排除9：对x+y=9进行加数分解，只有4+5这一组符合约束条件（其他分解形式得到的xy乘积小于19，不满足约束条件）；4*5=20=2*10，4*5和2*10均满足“因数之和不超过20”的条件，也就是说，20的因数分解有2组，所以B无法通过xy=20和“因数之和不超过20”的条件来唯一确定x和y值。所以排除9。

 

排除11：x+y=11的4组加数分解后，对应的xy的因数分解均不唯一，排除11。

 

排除12：进行加数分解得到其中的2组(其他组可不考虑)：5+7和3+9，且这2组对应的xy的因数分解(满足“因数之和不超过20”)均唯一，所以A无法通过x+y=12来唯一确定x和y，排除12。

 

排除15：进行加数分解得到其中的2组(其他组可不考虑)：2+13和4+11，且这2组对应的xy的因数分解(满足“因数之和不超过20”)均唯一，所以A无法通过x+y=15来唯一确定x和y，排除15。

 

排除17：进行加数分解得到其中的2组(其他组可不考虑)：4+13和6+11，且这2组对应的xy的因数分解(满足“因数之和不超过20”)均唯一，所以A无法通过x+y=17来唯一确定x和y，排除17。

 

排除19：进行加数分解得到其中的2组(其他组可不考虑)：2+17和8+11，且这2组对应的xy的因数分解(满足“因数之和不超过20”)均唯一，所以A无法通过x+y=19来唯一确定x和y，排除19。

 

至此我们已经排除了9-12、14-20这11个x+y值，只剩下x+y=13。

 

四、x+y=13分解分析

我们对13做加数分解，得到下表：

x+y	x	y	xy	xy分解(除去1*xy)
13	2	11	22
13	3	10	30	2*15=5*6=3*10
13	4	9	36	2*18=3*12=4*9=6*6
13	5	8	40	5*8=4*10
13	6	7	42	3*14=6*7

 

从表中可得，13共有5组加数分解情况，分解后的乘积xy有4组的因数分解(满足“因数之和不超过20”)不唯一，使得 B无法根据xy值来唯一确定x和y，是无效的加数分解，可以忽略；只有2+11这组对应的xy的因数分解(满足“因数之和不超过20”)是唯一的，A可以根据x+y=13来唯一确定xy值，B可以根据xy=22来唯一确定x+y值。

至此我们得到了本题的答案：

    x=2，y=11