12球3次称量问题

这个题目是我遇到的一道经典的逻辑推理题目，需要用到所有可用的信息，才能完全解决。我在2007年上管理学的课程的时候，思维无意中转到了这道题，突然之间醍醐灌顶，找到了问题的解法，很高兴。

 

题目：

有12个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它11个正常球有一定(但是可以测量出来)的差别。11个正常球的质量相同。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称3次就保证找出那个坏球。

 

解法：

将12个球平均分成3组，每组4个球。将第一组和第二组放入天平两端称量，有两种结果：平衡和非平衡，分列如下：

1．第一组和第二组平衡，说明坏球在第三组，而且第一组和第二组的球都是正常球。将第三组4个球编号为9、10、11和12，从正常球中取1个球，编号为0(以后已知的正常球都记作0)，将9和10放天平左端，11和0放天平右端，如下表1：

表1：

天平左端	天平右端
9	11
10	0

第二次称量结果有如下3种：

(1)天平平衡(9+10=11+0)：此时坏球就是12号球。我们通过2次称量就达到了找出坏球的目的(如果想确定坏球与正常球相比谁重谁轻，则只需要将正常球0和12号球进行第三次称量即可)。

 

(2)天平左重右轻(9+10>11+0)：说明坏球在9-11球中。此时进行第三次称量，即将9放天平左边，10放天平右边，可能出现2种结果(平衡和非平衡)。

如果天平平衡，则9和10是正常球，11是坏球，而且坏球轻于正常球。

如果天平非平衡，则坏球在9和10中，而且坏球重于正常球。根据第三次称量非平衡的结果，可以判断出坏球是9号和10号中的重球。

 

(3)天平左轻右重(9+10<11+0)：说明坏球在9-11球中。此时进行第三次称量，即将9放天平左边，10放天平右边，可能出现2种结果(平衡和非平衡)。

如果天平平衡，则9和10是正常球，11是坏球，而且坏球重于正常球。

如果天平非平衡，则坏球在9和10中，而且坏球轻于正常球。根据第三次称量非平衡的结果，可以判断出坏球是9号和10号的轻球。

 

2．第一组和第二组非平衡，说明坏球在第一和第二组，而且第三组的4个球都是正常球。将前2组中较重一组的4个球编号为1、2、3和4，前2组中较轻一组的4个球编号为5、6、7和8。将1-4放在左边，5-8放在右边(不是放到天平上)。此时有1+2+3+4>5+6+7+8。

       8个球重新放置后如表2：

表2：

左边	右边
1	5
2	6
3	7
4	8

 

我们对上表的左右两边的组合作如下变化： 1、2和5位置不变；3和7位置互换(黄色部分)；用3个正常球(共有4个正常球)替换4、6和8号球(红色部分)。最终结果是：1、2、7、0在左边，5、0、3、0在右边，如下表：

表3：

左边	右边
1	5
2	0
7	3
0	0

 

将上表的左右组合分别放到天平的左右两端，进行第二次称量，结果有如下3种：

(1)天平平衡(1+2+7+0=5+0+3+0)：说明坏球在被替换的4、6和8中。由于1、2、3、5和7均是正常球，根据表2组合，可以得知4+0>6+8。

    此时进行第三次称量，即将6放天平左边，8放天平右边，可能出现2种结果(平衡和非平衡)。

如果天平平衡，则6和8是正常球，4是坏球，而且坏球重于正常球。

如果天平非平衡，则坏球在6和8中，而且坏球轻于正常球。根据第三次称量非平衡的结果，可以判断出坏球是6号和8号中的轻球。

 

(2)天平左重右轻(1+2+7+0>5+0+3+0)：说明坏球在没有变动的1、2和5中。由于3、4、6、7和8均是正常球，根据表2组合，可以得知1+2>5+0。

此时进行第三次称量，即将1放天平左边，2放天平右边，可能出现2种结果(平衡和非平衡)。

如果天平平衡，则1和2是正常球，5是坏球，而且坏球轻于正常球。

如果天平非平衡，则坏球在1和2中，而且坏球重于正常球。根据第三次称量非平衡的结果，可以判断出坏球是1号和2号中的重球。

 

(3)天平左轻右重(1+2+7+0<5+0+3+0)：说明坏球在互换位置的3和7中。根据表2组合，可以得知3>7。

此时进行第三次称量，即将3放天平左边，正常球0放天平右边，可能出现2种结果(平衡和非平衡)。

如果天平平衡，则3是正常球，7是坏球，而且坏球轻于正常球。

如果天平非平衡，则3是坏球，而且坏球重于正常球。

 

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12球称量问题的思维过程

有12个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它11个正常球有一定的（但是可以测量出来）差别。11个正常球的质量相同。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称3次就保证找出那个坏球。

我10月8日从杨威那里收到了这个题目，当时怎么也想不出来解法。怀疑是题目出的不对。问了杨威，他确认了题目是正确的，有解法。于是我又思考了一下，觉得还是做不出来。我没有让他们提供答案(互联网上有答案，但我想自己做)，想自己一定能做出来。由于是上班时间，我就暂停思考，准备以后有时间再考虑。

后来想了几天，虽然已经有了一些进展了，但是只能得到4次称量结果，没有得出最终结果。当时觉得自己的智商真是不高，对自己能否得出解法有些怀疑了。

昨天下午，我在武汉大学上课，感觉课程比较枯燥，就想到了12球问题。于是我就开始想了起来。我在纸上画了几个球的组合，努力试着向3次称量靠近。终于，我的努力有了回报。那时，我突然有了一些灵感，我替换了5个球后，发现可以进行3次称量了。我又仔细将此过程重复了3遍，发现可以正确称量。为了排除思维上的陷阱，我下课回去后，在住处严格推算了一下，发现没有逻辑漏洞。

今天，我到公司，在互联网上搜索了12个球问题，发现网上的解法和我基本一致，证实了我的解法是正确的。我非常高兴。同时，我又将12个球扩展到13个球，发现用我的方法，可以在13个球中3次称出1个坏球。但是14个球好像就不行了(网上已经确定14球3次称量无解)。有了一些进展，自己觉得还比较满意。

这道题的解题关键是第二次称量的时候，各个球的称量组合。我曾经试了好几个组合，结果都无法得到正确的结果。后来，有了灵感，才把它解决了，最终也解决了这道题。

在解题过程中，我觉得自己开始时还是没有找准解题方向，走了一些弯路。到中间一段时间，虽然找到了正确的方向，但是由于没有得出最终结果，就有些怀疑自己能否解出来。最后，在不断坚持下，终于有了回报，找到了12球问题的解法，同时还进行了扩展，找到了13球问题的解法。

这件事给了我一些启发，那就是要相信自己的能力，不要轻易放弃。有时候要适当变灵活一些。

在解完题目后，我对这道题目的印象特别深刻，相信我以后是不会忘记它了。因为只有通过自己艰辛的努力得到的东西，才是值得珍惜和难忘的！

 

 

 

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12球称量问题的扩展

 

11月6日，我想到将12球称量问题进行扩展：既然3次称量最多的球数是13个，那么4次称量最多的球数是多少？这激起了我的兴趣。于是我开始思考这个问题。由于已经解出12球3次称量问题，按照同样的方法，经过20分钟思考，我能得出的4次称量最多的球数是33个(也就是说，不多于33个球，可以通过4次称量，找出那个坏球，大于33个球，则4次不够，需要5次)，根据这个思路，可以得出任意次称量最多的球数。

为了验证这个结果，我中午上网查询，发现有的网页的结果是38个，有的网页竟然是40个！都比我的结果要大一些。看来我的结果可能不正确(当然，也可能是网站的结果不正确)。于是我下午又思考了一下，发现好像不能大于34个。后来又想，觉得网站的可信度比较高，可能4次称量真的能够达到40个球吧。我又看了看，将我的方法进行优化，发现了自己思维的一个误区，改进了球的组合，终于，可以将最大球数提高到39个了。我很高兴。

不过好像离40个还有1个的差别，如何增加1个球，使得4次称量成功？我陷入沉思。我仔细推敲从33球扩展到39球的过程，发现有方向性的9球可以2次称量出来，于是灵机一动，在第三组增加1个球，适当改变14个球的组合，发现终于可以将40个球进行4次称量，找出坏球了。

按照上述思路，可以得出任意次称量最多的球数。不过，称量次数大于4次的情况，其推理非常复杂(4次已经比较复杂了)。我想这个问题应该到此为止了吧,只要掌握了方法，此类型题目就可以依此类推。这类型题目确实比较花费脑力的。