【后缀自动机】hihocoder1445 后缀自动机二·重复旋律5

解题方法提示

小Hi：本周的题目其实就是给定一个字符串S，要求出S的所有不同子串的数目。小Ho你知道如何快速求解么？

小Ho：我们最近在讨论后缀自动机，所以肯定是和后缀自动机有关！根据上周学习的SAM的基本概念和性质，SAM的每个状态st都包含了一部分S的子串，记作substrings(st)，并且(1)对于两个不同状态u和v，包含的子串substrings(u) ∩ substrings(v) = ∅; (2)每个子串都恰好被一个状态包含。所以我们只要构造出来S对应的SAM，再对所有状态st求Σ(maxlen(st)-minlen(st))就是子串的数目。

小Hi：没错。上周我们提到SAM有O(length(S))的构造法。这周我们就来讲一讲如何构造。

小Hi：首先，为了实现O(length(S))的构造，我们对于每个状态不能保存太多数据。例如substring(st)肯定是没法保存下来了。对于状态st我们只保存如下数据：

数据	含义
maxlen[st]	st包含的最长子串的长度
minlen[st]	st包含的最短字串的长度
trans[st][]	st的转移函数
slink[st]	st的Suffix Link

小Hi：其次，我们用增量法构造S对应的SAM。我们从初始状态开始，每次添加一个字符S[1], S[2], ... S[N]，依次构造可以识别S[1], S[1..2], S[1..3], ... S[1..N]=S的SAM。

小Hi：假设我们已经构造好了S[1..i]的SAM。这时我们要添加字符S[i+1]，于是我们新增了i+1个S[i+1]的后缀要识别：S[1..i+1], S[2..i+1], ... S[i..i+1], S[i+1]。 考虑到这些新增状态分别是从S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)通过字符S[i+1]转移过来的，所以我们还要对S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)对应的状态们增加相应的转移。

小Hi：我们假设S[1..i]对应的状态是u，等价于S[1..i]∈ substrings(u)。根据上周的讨论我们知道S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)对应的状态们恰好就是从u到初始状态S的由Suffix Link连接起来路径上的所有状态，不妨称这条路径(上所有状态集合)是suffix-path(u->S)。

小Hi：显然至少S[1..i+1]这个子串不能被以前的SAM识别，所以我们至少需要添加一个状态z，z至少包含S[1..i+1]这个子串。

小Hi：首先考虑一种最简单的情况：对于suffix-path(u->S)的任意状态v，都有trans[v][S[i+1]]=NULL。这时我们只要令trans[v][S[i+1]]=z，并且令slink[st]=S即可。

小Hi：例如我们已经得到"aa"的SAM，现在希望构造"aab"的SAM。如下图所示：

小Hi：此时u=2，z=3，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径2-1-S。并且这3个状态都没有对应字符b的转移。所以我们只要添加红色转移trans[2][b]=trans[1][b]=trans[S][b]=z即可。当然也不要忘了slink[3]=S。

小Ho：那要是suffix-path(u->S)上有一个节点v，使得trans[v][S[i+1]]!=NULL怎么办？

小Hi：好问题。我们以下图为例，假设我们已经构造"aabb"的SAM如图，现在我们要增加一个字符a构造"aabba"的SAM。

小Hi：这时u=4，z=6，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径4-5-S。对于状态4和状态5，由于它们都没有对应字符a的转移，所以我们只要添加红色转移trans[4][a]=trans[5][a]=z=6即可。面对S时我们遇到了小Ho你提出的问题，trans[S][a]=1已经存在，怎么办？

小Ho：怎么办呢？

小Hi：不失一般性，我们可以认为在suffix-path(u->S)遇到的第一个状态v满足trans[v][S[i+1]]=x。这时我们需要讨论x包含的子串的情况。如果x中包含的最长子串就是v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1=maxlen(x)，比如在上面的例子里，v=S, x=1，longest(v)是空串，longest(1)="a"就是longest(v)+'a'。这种情况比较简单，我们只要增加slink[z]=x即可。

小Hi：如果x中包含的最长子串 不是 v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1 < maxlen(x)，这种情况最为复杂，不失一般性，我们用下图表示这种情况，这时增加的字符是c，状态是z。

小Hi：在suffix-path(u->S)这条路径上，从u开始有一部分连续的状态满足trans[u..][c]=NULL，对于这部分状态我们只需增加trans[u..][c]=z。紧接着有一部分连续的状态v..w满足trans[v..w][c]=x，并且longest(v)+c不等于longest(x)。这时我们需要从x拆分出新的状态y，并且把原来x中长度小于等于longest(v)+c的子串分给y，其余字串留给x。同时令trans[v..w][c]=y，slink[y]=slink[x], slink[x]=slink[z]=y。

小Ho：好像比较复杂。

小Hi：我们来举个例子。假设我们已经构造"aab"的SAM如图，现在我们要增加一个字符b构造"aabb"的SAM。

小Hi：当我们处理在suffix-path(u->S)上的状态S时，遇到trans[S][b]=3。并且longest(3)="aab"，longest(S)+'b'="b"，两者不相等。其实不相等意味增加了新字符后endpos("aab")已经不等于endpos("b")，势必这两个子串不能同属一个状态3。这时我们就要从3中新拆分出一个状态5，把"b"及其后缀分给5，其余的子串留给3。同时令trans[S][c]=5, slink[5]=slink[3]=S, slink[3]=slink[6]=5。

小Hi：整个过程的代码如下，其中状态0代表初始状态S；状态u, v, x, y, z的意义如上文所述；-1代表slink或者trans不存在。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define MAXL 1000000
#define MAXC 26
char s[MAXL+10];//文本串
int len/*文本串长度*/;
struct SAM{
	int n/*状态数0~n-1*/,maxlen[2*MAXL+10],minlen[2*MAXL+10],trans[2*MAXL+10][MAXC],slink[2*MAXL+10];
	int new_state(int _maxlen,int _minlen,int _trans[],int _slink){
		maxlen[n]=_maxlen;
		minlen[n]=_minlen;
		for(int i=0;i<MAXC;++i){
			if(_trans==NULL){
				trans[n][i]=-1;
			}
			else{
				trans[n][i]=_trans[i];
			}    
		}
		slink[n]=_slink;
		return n++;
	}
	int add_char(char ch,int u,int pos){
		if(u==-1){
			return new_state(0,0,NULL,-1);
		}
		int c=ch-'a';
		int z=new_state(maxlen[u]+1,-1,NULL,-1);
		int v=u;
		while(v!=-1 && trans[v][c]==-1){
			trans[v][c]=z;
			v=slink[v];
		}
		if(v==-1){//最简单的情况，suffix-path(u->S)上都没有对应字符ch的转移
			minlen[z]=1;
			slink[z]=0;
			return z;
		}
		int x=trans[v][c];
		if(maxlen[v]+1==maxlen[x]){//较简单的情况，不用拆分x
			minlen[z]=maxlen[x]+1;
			slink[z]=x;
			return z;
		}
		int y=new_state(maxlen[v]+1,-1,trans[x],slink[x]);//最复杂的情况，拆分x
		slink[y]=slink[x];
		minlen[x]=maxlen[y]+1;
		slink[x]=y;
		minlen[z]=maxlen[y]+1;
		slink[z]=y;
		int w=v;
		while(w!=-1 && trans[w][c]==x){
			trans[w][c]=y;
			w=slink[w];
		}
		minlen[y]=maxlen[slink[y]]+1;
		return z;
	}
}sam;
int m;
ll ans;
int main(){
//	freopen("hihocoder1445.in","r",stdin);
//	freopen("hihocoder1445.out","w",stdout);
	char T[MAXL+10];
	scanf("%s",s);
	len=strlen(s);
	int U=sam.add_char(0,-1,0);
	for(int i=0;i<len;++i){
		U=sam.add_char(s[i],U,i);
	}
	for(int i=1;i<sam.n;++i){
		ans+=(ll)(sam.maxlen[i]-sam.minlen[i]+1);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}