【转载】复数基础知识

复数
关于复数的一些常用知识和运算法则
定义与表示
首先令\(i^2=-1\)
复数是指能写成\(a+bi\)的数，其中\(a\)是实部，\(b\)是虚部，\(i\)为虚数单位。
四则运算

\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \]

\[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i \]

\[(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i \]

运算律
满足加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律
复数与向量
可以将复数看成平面坐标系中以原点为起点的向量\((a,b)\)。其中\(x\)轴称为实轴，\(y\)轴称为虚轴
复数的模
复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称作该复数的模。
即对于复数\(z=a+bi\)，它的模

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2} \]

复数的幅角
在复数\(z\neq 0\)的情况下,以正实轴为始边,表示\(z\)的向量为终边的角\(\theta\)称为\(z\)的幅角,记做\(Argz=\theta\)
说明 任何一个复数\(z\neq 0\)都有无穷多个幅角。如果\(\theta_1\)是其中的一个幅角，那么\(z\)的全部幅角可以表示为

\[Argz=\theta_1+2k\pi \]

特殊地，当\(z=0\)时，幅角不确定
幅角主值 在\(z(\neq 0)\)的幅角中，把满足\(-\pi<\theta_0<\pi\)的\(\theta_0\)叫做\(Argz\)的主值,记做\(\theta_0=argz\)
欧拉公式

\[e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta \]

当\(\theta=\pi\)时，有欧拉公式的特殊形式\(e^{i\pi}+1=0\)
复数的三角表达与指数表达
利用直角坐标与极坐标的关系\(\begin{cases} x=rcos\theta \\ y = rsin\theta \end{cases}\)，复数可以表示为\(z=r(cos\theta+isin\theta)\)。再利用欧拉公式,复数可以表示成\(z=re^{i\theta}\)
共轭复数
两个实部相等，虚部互为相反数的复数叫做共轭复数
性质

\[|x+yi|=|x-yi| \]

\[(x+yi)·(x-yi)=x^2+y^2 \]

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