SCOI2015 小凸想跑步

小凸想跑步

小凸晚上喜欢到操场跑步，今天他跑完两圈之后，他玩起了这样一个游戏。

操场是个凸\(n\)边形，\(n\)个顶点按照逆时针从\(0 \sim n - 1\)编号。现在小凸随机站在操场中的某个位置，标记为\(p\)点。将\(p\)点与\(n\)个顶点各连一条边，形成\(n\)个三角形。如果这时\(p\)点，\(0\)号点，\(1\)号点形成的三角形的面积是\(n\)个三角形中最小的一个，小凸则认为这是一次正确站位。

现在小凸想知道他一次站位正确的概率是多少。

\(3 \leq n \leq 10 ^ 5, -10 ^ 9 \leq x, y \leq 10 ^ 9\)。

题解

https://www.cnblogs.com/cj-xxz/p/10603286.html

对每个三角形面积列不等式跑半平面交即可。

假设多边形边上四个点逆时针依次是\(a,b,c,d\)，要求范围的点是\(p\)。

\[(b-a)\times (p-a)\leq (d-c)\times (p-c) \]

\[(x_b-x_a,y_b-y_a)\times (x_p-x_a,y_p-y_a)\leq (x_d-x_c,y_d-y_c)\times (x_p-x_c,y_p-y_c) \]

\[(x_b-x_a-x_d+x_c)y_p-(y_b-y_a-y_d+y_c)x_p-x_by_a+y_bx_a+x_dy_c-y_dx_c\leq 0 \]

根据不等式就能确定半平面。

时间复杂度\(O(n\log n)\)。

CO float128 eps=1e-9;

struct point {float128 x,y;};

IN point operator+(CO point&a,CO point&b){
	return {a.x+b.x,a.y+b.y};
}
IN point operator-(CO point&a,CO point&b){
	return {a.x-b.x,a.y-b.y};
}
IN point operator*(CO point&a,float128 b){
	return {a.x*b,a.y*b};
}
IN point operator/(CO point&a,float128 b){
	return {a.x/b,a.y/b};
}
IN float128 dot(CO point&a,CO point&b){
	return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
IN float128 cross(CO point&a,CO point&b){
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

struct line {point x,y;};

IN float128 angle(CO line&a){
	return atan2(a.y.y,a.y.x);
}
IN bool on_left(CO point&a,CO line&b){
	return cross(b.y,a-b.x)>0;
}
IN point intersect(CO line&a,CO line&b){
	return b.x+b.y*cross(b.x-a.x,a.y)/cross(a.y,b.y);
}

CO int N=2e5+10;
point p[N];
line ln[N];

int main(){
	int n=read<int>();
	for(int i=1;i<=n;++i) read(p[i].x),read(p[i].y);
	p[n+1]=p[1];
	int m=0;
	float128 area=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ln[++m]={p[i],p[i+1]-p[i]};
		area+=cross(p[i],p[i+1]);
	}
	for(int i=2;i<=n;++i){
		float128 a=p[2].x-p[1].x-p[i+1].x+p[i].x;
		float128 b=p[2].y-p[1].y-p[i+1].y+p[i].y;
		float128 c=-p[2].x*p[1].y+p[2].y*p[1].x+p[i+1].x*p[i].y-p[i+1].y*p[i].x;
		if(a) ln[++m]={{0,-c/a},{-a,-b}};
		else if(b) ln[++m]={{c/b,0},{-a,-b}};
	}
	sort(ln+1,ln+m+1,[&](CO line&a,CO line&b)->bool{
		return angle(a)<angle(b);
	});
	int l,r=1;
	for(int i=2;i<=m;++i){
		if(abs(angle(ln[i])-angle(ln[r]))>eps) ln[++r]=ln[i];
		else if(on_left(ln[i].x,ln[r])) ln[r]=ln[i];
	}
	m=r,l=r=1;
	for(int i=2;i<=m;++i){
		for(;l<r and !on_left(p[r],ln[i]);--r);
		for(;l<r and !on_left(p[l+1],ln[i]);++l);
		ln[++r]=ln[i];
		if(l<r) p[r]=intersect(ln[r-1],ln[r]);
	}
	for(;l<r and !on_left(p[r],ln[l]);--r);
	p[l]=p[r+1]=intersect(ln[r],ln[l]);
	float128 ans=0;
	for(int i=l;i<=r;++i) ans+=cross(p[i],p[i+1]);
	ans/=area;
	printf("%.4Lf\n",ans);
	return 0;
}