LG4389 付公主的背包

付公主的背包

付公主有一个可爱的背包，这个背包最多可以装 \(10^5\) 大小的东西。

付公主有 \(n\) 种商品，每种商品体积为 \(v_i\)，都有 \(10^5\) 件。

给定 \(m\)，对于 \(s\in [1,m]\)，请你回答用这些商品恰好装 \(s\) 体积的方案数。对 \(998244353\) 取模。

\(n,m\leq 100000,1\leq V_i\leq m\)。

题解

https://2016gdgzoi509.blog.luogu.org/fu-gong-zhu-di-bei-bao

答案显然是 \(n\) 个形如 \(\sum_{i=0}^\infty x^{vi}=\frac{1}{1-x^v}\) 的多项式的卷积，然而直接NTT的时间复杂度是\(O(nm\log n)\)。

我们可以把每个多项式\(\ln\)然后相加， 最后\(\exp\)回去。

\[f(x)=\sum_{i=0}^\infty x^{vi}=\frac{1}{1-x^v}\\ g(x)=\ln f(x)\\ g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(x)}{\frac{1}{1-x^v}}\\ =(1-x^v)\sum_{i=1}^\infty vi\cdot x^{vi-1}\\ =\sum_{i=1}^\infty(vi-v(i-1))x^{vi-1}=\sum_{i=1}^\infty v\cdot x^{vi-1}\\ g(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}x^{vi} \]

这样只需要通过调和级数原理快速合并 \(g(x)\)，在 \(\exp\) 回去就是了。

时间复杂度 \(O(m \log m)\)。

CO int N=262144;
int omg[2][N],rev[N],inv[N];

void NTT(poly&a,int dir){
	int lim=a.size(),len=log2(lim);
	for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
	for(int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<lim;i<<=1)
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1)for(int k=0;k<i;++k){
			int t=mul(omg[dir][N/(i<<1)*k],a[j+i+k]);
			a[j+i+k]=add(a[j+k],mod-t),a[j+k]=add(a[j+k],t);
		}
	if(dir==1){
		int ilim=fpow(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
	}
}
poly operator~(poly a){
	int n=a.size();
	poly b(1,fpow(a[0],mod-2));
	if(n==1) return b;
	int lim=2;
	for(;lim<n;lim<<=1){
		poly a1(a.begin(),a.begin()+lim);
		a1.resize(lim<<1),NTT(a1,0);
		b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(a1[i],b[i]),b[i]);
		NTT(b,1),b.resize(lim);
	}
	a.resize(lim<<1),NTT(a,0);
	b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
	for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(a[i],b[i]),b[i]);
	NTT(b,1),b.resize(n);
	return b;
}
poly log(poly a){
	int n=a.size();
	poly b=~a;
	for(int i=0;i<n-1;++i) a[i]=mul(a[i+1],i+1);
	a.resize(n-1);
	int lim=1<<(int)ceil(log2(2*n-2));
	a.resize(lim),NTT(a,0);
	b.resize(lim),NTT(b,0);
	for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
	NTT(a,1),a.resize(n);
	for(int i=n-1;i>=1;--i) a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
	return a[0]=0,a;
}
poly exp(poly a){
	int n=a.size();
	poly b(1,1); // a[0]=0
	if(n==1) return b;
	int lim=2;
	for(;lim<n;lim<<=1){
		b.resize(lim);poly c=log(b);
		c[0]=add(1+a[0],mod-c[0]);
		for(int i=1;i<lim;++i) c[i]=add(a[i],mod-c[i]);
		c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
		b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(c[i],b[i]);
		NTT(b,1),b.resize(lim);
	}
	b.resize(lim);poly c=log(b);
	c[0]=add(1+a[0],mod-c[0]);
	for(int i=1;i<n;++i) c[i]=add(a[i],mod-c[i]);
	c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
	b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
	for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(c[i],b[i]);
	NTT(b,1),b.resize(n);
	return b;
}

int cnt[N];

int main(){
	omg[0][0]=1,omg[0][1]=fpow(3,(mod-1)/N);
	omg[1][0]=1,omg[1][1]=fpow(omg[0][1],mod-2);
	for(int i=2;i<N;++i){
		omg[0][i]=mul(omg[0][i-1],omg[0][1]);
		omg[1][i]=mul(omg[1][i-1],omg[1][1]);
	}
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<N;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	int n=read<int>(),m=read<int>();
	for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[read<int>()];
	poly a(m+1);
	for(int v=1;v<=m;++v)if(cnt[v])
		for(int i=1;i*v<=m;++i) a[i*v]=add(a[i*v],mul(cnt[v],inv[i]));
	a=exp(a);
	for(int i=1;i<=m;++i) printf("%d\n",a[i]);
	return 0;
}