LG4195 【模板】exBSGS

exBSGS

已知数\(a,p,b\)，求满足\(a^x≡b\ (\bmod p)\)的最小自然数\(x\)。

\(100\%\)的数据，\(a,p,b≤10^9\)。

_皎月半洒花的题解

其实本质上，当\(p\)不为素数时，我们无法进行朴素 BSGS 的原因是我们的欧拉定理\(a^{\varphi(p)} \equiv b(\bmod p)\) 只能处理\((a,p)=1\)的情况。那么我们知道，朴素的 BSGS 的关键在于，可以保证最小解是有界的——\(x\)一定在\([1,\varphi(p)]\)中。所以最后 BSGS 的复杂度才会是\(\Theta(\sqrt{\varphi(p)})\) 的——比如说比较常见的\(p\)是素数的情况下，时间复杂度为\(\Theta(p)\)。

那么也就是说，我们只需要进行一些操作，保证\((a,p)=1\)即可。

我们思考，对于同余式\(a^x\equiv b~(\bmod p)\)而言，我们先假定\((a,p)>1\)。而此时如果有\(((a,p), b)=1\)，那么说明此式只有可能在\(x=0,b=1\)的时候有解——这个结论是平凡的。因为假设我们把它展开成\(a\cdot a^{x-1} +kp=b\)的形式，必须要有\((a,p) ~|~ b\)的情况下，才能保证\(a^{x-1}\)和\(k\)都是整数。

那么对于\((a,p)>1\)且\((a,p)~|~b\)，我们令原式变成

\[ a^{x-1}\cdot \frac{a}{(a,p)} \equiv \frac{b}{(a,p)} (\bmod \frac{p}{(a,p)}) $$ 的样子，如果此时$(a^{x-1},\frac{p}{(a,p)})=1$ 的话，我们就直接解 $$ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} }(\bmod \frac{p}{(a,p)}) $$ 这个方程即可。否则我们继续分解直至$(p',a)=1$。 那么此时有个问题需要注意，就是如果们在解这个方程时，出现了 $$ (a^{x-1}, \frac{p}{(a,p)})\nmid \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } $$ 的情况，那我们需要特判并`return -1` ；另一种情况，如果我们出现了 $$ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } \equiv1(\bmod \frac{p}{(a,p)}) $$ 的情况，也需要特判并输出此$k$（此时同余式左边是$a^{x-k}$，因为$a^{x-k}\equiv1~(\bmod p)$所以直接输出$k$），不过也有可能不需要，完全看你写的 BSGS 能不能判断$x=0$的情况……一般情况下不能。 算法流程大体就是这些。有些需要注意的是，BSGS 有两种写法。我的这种写法是小步为$a^j$，大步为$a^{-im}b$。此时由于$p$不再是素数，所以不能用费马小定理，需要我们用exgcd的方法求逆元，包括但不限于$\frac{b}{(a,p)}$的逆元和$a^{-im}$。 ```cpp #include<bits/stdc++.h> #define co const #define il inline template<class T> T read(){ T x=0,w=1;char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*w; } template<class T>il T read(T&x){ return x=read<T>(); } using namespace std; typedef long long LL; unordered_map<LL,int> H; int N,M,P,ans; LL gcd(LL a,LL b){ if(!b) return a; return gcd(b,a%b); } LL expow(LL a,LL b,LL mod){ LL res=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) res=res*a%mod; return res; } LL exgcd(LL&x,LL&y,LL a,LL b){ if(!b){ x=1,y=0; return a; } LL t=exgcd(y,x,b,a%b); y-=x*(a/b); return t; } LL BSGS(LL a,LL b,LL mod,LL d){ H.clear(); LL Q,p=ceil(sqrt(mod)),x,y; exgcd(x,y,d,mod),b=(b*x%mod+mod)%mod; Q=expow(a,p,mod),exgcd(x,y,Q,mod),Q=(x%mod+mod)%mod; for(LL i=1,j=0;j<=p;++j,i=i*a%mod) if(!H.count(i)) H[i]=j; for(LL i=b,j=0;j<=p;++j,i=i*Q%mod) if(H.count(i)) return j*p+H[i]; return -1; } LL exBSGS(){ if(M==1) return 0; LL d=1,k=0; for(LL nd;(nd=gcd(N,P))>1;){ if(M%nd) return -1; ++k,M/=nd,P/=nd,d=d*(N/nd)%P; if(d==M) return k; } LL ans; return (ans=BSGS(N,M,P,d))==-1?-1:ans+k; } int main(){ while(read(N)|read(P)|read(M)){ N%=P,M%=P,ans=exBSGS(); if(ans<0) puts("No Solution"); else printf("%d\n",ans); } return 0; } ```\]