递归

1. 递归三大要素

明确函数的功能

这个函数到底想要干嘛

寻找递归结束的条件

• 递归会在函数内部不断地调用函数本身，如果不指定终止条件，它就会一直执行下去
• 找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

找出函数的等价关系式

通过不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。

例如，f(n) 这个范围比较大，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变小了，并且为了原函数f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以 n。

说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，即

f(n) = n * f(n-1)。

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    // 把 f(n) 的等价操作写进去
    return f(n-1) * n;
}

2. 递归实例

斐波那契数列

int f(int n){
    // 1.先写递归结束条件
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    // 2.接着写等价关系式
    return f(n-1) + f(n - 2);
}

小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

• 第一想法 递归结束的条件是：当n=1时，result=1;
• 接下来思考怎么找递推关系式，即f(n)怎么写成f(n-1)的形式
  当每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。

第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。
第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以，f(n) = f(n-1) + f(n-2)

Wait! 这个关系式当n = 1的时候，会调用f(-1)，从而使程序陷入死循环，所以应该修改终止条件如下：

int f(int n){
    //f(0) = 0,f(1) = 1，等价于 n<=2时，f(n) = n。
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    return f(n-1) + f(n-2);
}

参考

[1] 为什么你学不会递归？告别递归，谈谈我的一些经验