RMQ

RMQ(Range Mininum/Maxinum Query)

区间最值问题

解决方法

若需要修改，常常使用线段树等数据结构。

若不需要修改，一般使用st表。

例题

给定M及N个数（1<N<=2500000），每个数在0到100000之间。

输出每M个数中的最大数，即1_{M中的最大数，2}M+1中的最大数……，N-M+1~N中的最大数，共N-M+1个。

数组

将读入的数据放到一个线性表f数组中，然后枚举开始点i，遍历求出区间[i,i+m-1]中最大值。

堆

将数据组织成树型结构，即将读入的数值设计成一个大根堆，则堆顶元素就是全局最大值，记录下每个数值在输入时的位置。

由于本题是求一个指定区间的最大值，还需要判断一下堆顶元素是否位于指定区间，如果在，则直接输出堆顶元素的值，否则踢掉堆顶元素。

单调队列

用f(i)代表第i个数对应的答案，a[i]表示第i个数。

于是维护这样一个队列：队列中的每个元素有两个域{position,value}，分别代表他在原队列中的位置和值，我们随时保持这个队列中的元素position域单调递增,value域单调递减,。

则在计算f(i)的时候，先将a[i]加入到队列中。

我们让a[i]与队尾元素的value域进行比较，但凡发现小于a[i]的，一律从队列中踢掉。

由于i-m+1是随着i单调递增的，所以对于任意j<i,有a[j]<a[i]，在计算任意一个状态f(x)(x<i)的时候，j都不会比i优，所以j被踢掉是有理有据的.

通过“踢数据”的操作，我们有效地降低了需要维护的数据量。

对比堆的操作中，这些无效的数据仍放在堆中，在加数据的操作时，无疑增加了操作的次数。

采用这种方法，每个数据进出队列都只有一次，所以时间复杂度为\(O(n)\),而堆的时间复杂度为\(O(nlog_{2}n)\)。

接下来我们需要在队首不断删除，直到队首的position大于等于i-m+1，此时队首的value必定是f(i)的结果，因为队列是单调的。

st表

线段树

并非原创，仅是整理，请见谅