第十四届大学生数学竞赛B类初赛试题题解

5.函数\(f(x)={\frac{1}{1-x-x^2}}\) , \(a_n={\frac{1}{n!}}\)\(f^{(n)}(0)\)(n$\geq$0) ， 证明：级数 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\)\({\frac{a_{n+1}}{a_{n}a_{n+2}}}\)收敛并求它的和。

思路：我们观察到 \(a_n\) 就是 \(f(x)\) 泰勒展开式的系数，所以在可以将 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 的内写成另一种表

示，再和题目中给的式子联系即可求出递推关系。