离散数学

11.28作业

\((1)(3)(4)\)是\(V\)的自同态，\((2)(5)(6)\)不是\(V\)的自同态

\((1)\)不是单自同态，不是满自同态，不是自同构 \(f(V)=<R^{+}, \cdot >\)

\((3)\)不是单自同态，不是满自同态，不是自同构 \(f(V)=<R^{+}, \cdot >\)

\((4)\)是单自同态，是满自同态，是自同构 \(f(V)=V\)

\((b)\)不是格，\(d\)和\(e\)没有最大下界

\((c)\)是格

证明：

因为\(a_{1}\wedge a_{2}\wedge ... \wedge a_{n}\)为\(a_{1},a_{2},...,a_{n}\)的最大下界，\(a_{1}\vee a_{2}\vee ... \vee a_{n}\)为\(a_{1},a_{2},...,a_{n}\)的最小上界

所以有

\(a_{1}\wedge a_{2}\wedge ... \wedge a_{n}\) \(\leq\) \(a_{i}\) \(\leq\) \(a_{1} \vee a_{2} \vee ...\vee a_{n}\)

而

\(a_{1}\wedge a_{2} \wedge ... \wedge a_{n} = a_{1} \vee a_{2} \vee ... \vee a_{n}\)

所以

\(a_{i}=a_{1} \wedge a_{2} \wedge ... \wedge a_{n}=a_{1} \vee a_{2} \vee ... \vee a_{n}\)

所以

\(a_{1}=a_{2}= ... =a_{n}\)

证明:

因为

$a \preccurlyeq a$

所以

$a \in S$

而

$x \vee y \preccurlyeq a \in S$

\(x \wedge y \preccurlyeq x \preccurlyeq a \in S\)

（这里假定 \(x \preccurlyeq y\)，并且 \(x \in S , y \in S\)）

所以 \(<S,\preccurlyeq>\) 是 \(L\) 的子格

第十一章 格与布尔代数

11.1 格的定义与性质

格：对于偏序集 \(S\) 中任取的两个元素，都能找到它们的最小上界和最大下界

对偶命题：将格中的全部符号全部替换成相反的得到的命题

格的对偶原理：若 \(f\) 对一切格为真，则它的对偶命题 \(f^{*}\)也对一切格为真

从哈斯图上看，这个性质就是将哈斯图旋转 \(180\) 度得到的

定义11.2，11.3将格从偏序集角度拓展到代数系统角度

子格：关于\(\wedge\)和\(\vee\)运算仍然构成格的子集，非空

11.2 分配格、有补格与布尔代数

分配格：满足取上界和取下界的分配律