卡特兰数

卡特兰数的起源

卡特兰数是组合数学中一种重要的计数方式，以比利时数学家卡特兰的名字来命名。

卡特兰数公式形式

\(1.C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)

\(2.H_{n}=\frac{4n-2}{n+1} H_{n-1}\)

卡特兰公式的推导

因为第二种形式以及网上能搜到的更多种形式都是由第一种得来的，所以我们只证明第一种即可。

考虑一个简单的问题：在一张网格坐标图中，从 (0,0) 走到 (n,n)，其中不能越过连接 (0,0) 到 (n,n)

的这条主对角线，一共有多少种走法?

明显，不论怎么走，都是向右走 n 次，再向上走 n 次，因此可以用 \(C_{2n}^{n}\) 来表示所有可能的走法。

接下来我们要排除那些不合法的情况。

把主对角线看成直线 y = x ，那么把这条直线往上平移一个单位得到的就是直线 y = x + 1，

任何不合法的操作方案，都至少触碰一次这条直线。

我们从第一次接触到这条线开始，把之后的路径以这条直线为对称轴翻转，最终本应到达的终点(n,n)就

变成了(n-1,n+1)。 所以不合法的方案数就是 \(C_{2n}^{n-1}\) 。

如何判断一道题是否可以用卡特兰数解决？