【bzoj 2870】 最长道路tree

题目

边分治

边分和点分相比就是找到一条重心边，考虑所有经过这条边的路径，之后断开这条边分成两个联通块，继续分治

由于每次分治重心是一条边，所以只会产生两个联通块，考虑两个联通块显然要比像点分那样考虑多个联通块容易

但是边分有一个问题，就是遇到菊花图就自闭了，复杂度变成了\(O(n^2)\)

我们注意到边分的复杂度还和每个点的度数有关系，于是我们建一些虚点和虚边，把这棵树变成一棵二叉树，这样复杂度就是\(O(n\operatorname{logn})\)了

具体做法就是，一旦发现一个节点有多与两个儿子，就新建两个虚点，之后把这些儿子按照奇偶性分给两个儿子

对于这道题，虚点的点设成其父亲的点权，虚边的边权为\(0\)，我们每次把两个联通块的内的路径拿出排序，双指针扫一扫拼一拼就好了

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=2e5+5;
struct E{int v,nxt,w;}e[maxn<<1];
int head[maxn],n,num,sum[maxn],vis[maxn];
int rn,S,top[2],Mnow,tax[maxn],rt,val[maxn];
struct Seg{int l,v;}st[2][maxn];
std::vector<int> son[maxn];LL ans;
inline int cmp(const Seg &A,const Seg &B) {return A.v<B.v;}
inline void add(int x,int y,int w) {
	e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;e[num].w=w;
}
void dfs1(int x,int fa) {
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		if(e[i].v==fa) continue;
		son[x].push_back(e[i].v);
		dfs1(e[i].v,x);
	}
}
void getrt(int x,int fa) {
	sum[x]=1;
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		if(vis[i>>1]||e[i].v==fa) continue;
		getrt(e[i].v,x);sum[x]+=sum[e[i].v];
		int now=max(sum[e[i].v],S-sum[e[i].v]);
		if(now<Mnow) Mnow=now,rt=i;
	}
}
void dfs2(int o,int x,int fa,int l,int v) {
	v=min(v,val[x]);st[o][++top[o]]=(Seg){l,v};
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		if(e[i].v==fa||vis[i>>1]) continue;
		dfs2(o,e[i].v,x,l+e[i].w,v);
	}
}
void solve(int x,int sz) {
	Mnow=maxn;S=sz;getrt(x,0);
	if(Mnow==maxn) return;
	int now=rt;vis[rt>>1]=1;
	top[0]=0;dfs2(0,e[now].v,0,0,maxn);
	top[1]=0;dfs2(1,e[now^1].v,0,0,maxn);
	std::sort(st[0]+1,st[0]+top[0]+1,cmp);
	std::sort(st[1]+1,st[1]+top[1]+1,cmp);
	tax[top[1]]=st[1][top[1]].l;int j=1;
	for(re int i=top[1]-1;i;--i) tax[i]=max(st[1][i].l,tax[i+1]);
	for(re int i=1;i<=top[0];i++) {
		while(st[1][j].v<st[0][i].v&&j<=top[1]) j++;
		if(j<=top[1]&&st[1][j].v>=st[0][i].v) 
			ans=max(ans,1ll*st[0][i].v*(e[now].w+st[0][i].l+tax[j]+1));
	}
	tax[top[0]]=st[0][top[0]].l;j=1;
	for(re int i=top[0]-1;i;--i) tax[i]=max(st[0][i].l,tax[i+1]);
	for(re int i=1;i<=top[1];i++) {
		while(st[0][j].v<st[1][i].v&&j<=top[0]) j++;
		if(j<=top[0]&&st[0][j].v>=st[1][i].v) 
			ans=max(ans,1ll*st[1][i].v*(e[now].w+st[1][i].l+tax[j]+1));
	}
	int ss=sz-sum[e[now].v];
	solve(e[now].v,sum[e[now].v]);solve(e[now^1].v,ss);
}
int main() {
	n=rn=read();
	for(re int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();
	for(re int x,y,i=1;i<n;i++) 
		x=read(),y=read(),add(x,y,0),add(y,x,0);
	dfs1(1,0);
	num=1;memset(head,0,sizeof(head));
	for(re int i=1;i<=n;i++) {
		int sz=son[i].size();
		if(!sz) continue;
		if(sz==1) {
			add(i,son[i][0],son[i][0]<=rn);
			add(son[i][0],i,son[i][0]<=rn);
			continue;
		}
		if(sz==2) {
			add(i,son[i][0],son[i][0]<=rn);add(son[i][0],i,son[i][0]<=rn);
			add(i,son[i][1],son[i][1]<=rn);add(son[i][1],i,son[i][1]<=rn);
			continue;
		}
		int t1=++n,t2=++n;val[t1]=val[t2]=val[i];
		add(i,t1,0),add(t1,i,0);add(i,t2,0),add(t2,i,0);
		for(re int j=0;j<son[i].size();j++) 
			if(j&1) son[t1].push_back(son[i][j]);
				else son[t2].push_back(son[i][j]);
	}
	solve(1,n);
	std::cout<<ans;
}