摘要： 题意： 计数区间$[1, n](1 \leq n \leq 10^{11})$素数个数。 分析： 这里只介绍一种动态规划的做法。 首先要说一下【分层思想】在动态规划中非常重要，下面的做法也正是基于这一思想。 我们用$dp[i]$表示区间$[1, \frac{n}{i}]$中素数的个数，用$c[i]$ 阅读全文

摘要： 题意：有一行$n(n \leq 100000)$个方格，从左往右第$i$个方格的值为$p_i(p_i = \frac{a}{b}, 1 \leq a < b \leq 1e9)$，有两种操作，一种是将某个方格的值更新为另一个分数表示的有理数，另一种操作是寻味区间$[l, r](l \leq r)$的 阅读全文

摘要： 题意：对于整数序列$A[1...n]$定义$f(l, r)$为区间$[l, r]$内等于区间最大值元素的个数，定义$z[i]$为所有满足$f(l, r)=i$的区间总数。对于所有的$1 \leq i \leq n$，计算$z[i]$。 分析：考虑由大往小枚举最大值，对于某一最大值为$M$的区间$[l 阅读全文

摘要： 题意：对于给定的$n \times m$矩阵$M$，定义$S(a,b)$为$M$的所有$a \times b$子矩阵的权重之和。一个矩阵的权重是指矩阵中所有马鞍点权值之和，在一个矩阵中某点是马鞍点当且仅当它在所在行是唯一一个最小的，同时在所在列中是唯一一个最大的。现在输入矩阵$M$，要求计算$W= 阅读全文

摘要： 题意：给定$x, n$满足$1 \leq x, n \leq 1000000$，求$\sum{(x^a-1,x^b-1)}$对$1e9+7$取模后的值，其中$1 \leq a, b \leq n$。 分析：首先不难有$(x^a - 1, x ^ b - 1) = x^{(a,b)}-1$（证明方法可 阅读全文

摘要： 题意：考虑由$n$个结点构成的无向图，每条边的长度均为$1$，问有多少种构图方法使得结点$1$与任意其它节点之间的最短距离均不等于$k$（无法到达时距离等于无穷大），输出答案对$1e9+7$取模。$1 \leq n, k \leq 60$。 分析：只需要考虑那些和结点$1$在同一个连通块的结点，考虑 阅读全文

摘要： Dijkstra单源最短路径算法 Dijkstra可以计算出发点到每个点的最短路，及单源最短路径（SSSP）。这一特点使得Dijkstra常常用来进行其他算法的预处理。用Dijkstra算法计算最短路的代码如下： 注：代码注释参见《算法竞赛入门经典——训练指南》（刘汝佳） Bellman-Ford算 阅读全文

摘要： 2-SAT问题是这样的：有$n$个布尔变量$x_i$，另有$m$个需要满足的条件，每个条件的形式都是“$x_i$为真/假或者$x_j$为真/假”。比如："$x_1$为真或者$x_3$为假“。注意这里的”或“是指两个条件至少有一个是正确的，比如$x_1$和$x_3$一共有$3$中组合满足"$x_1$为 阅读全文

摘要： 和无向图的连通分量类似，有向图有“强连通分量”的说法。“相互可达”的关系在有向图中也是等价关系。每一个集合称为有向图的一个强连通分量（scc）。如果把一个集合看成一个点，那么所有的scc构成了一个scc图。这个scc图不会存在任何有向环，因此是一个DAG。求解有向图强连通分量的算法一般都是基于dfs 阅读全文

摘要： 写在前面：可持久化数据结构并不神奇，主要是使用了前缀和与指针的技巧。我觉得使用线段树组来称呼它更加形象。 阅读全文