hdu 5901 Count primes

题意：

计数区间$[1, n](1 \leq n \leq 10^{11})$素数个数。

分析：

这里只介绍一种动态规划的做法。

首先要说一下【分层思想】在动态规划中非常重要，下面的做法也正是基于这一思想。

我们用$dp[i]$表示区间$[1, \frac{n}{i}]$中素数的个数，用$c[i]$表示区间$[1, i]$中素数个数。

那么我们要求的即是$dp[1]$。由于$n$最大是$10^{11}$，因此任何区间内合数的最小素因子不超过$\sqrt{10^{11}}$。为了筛选素数，只需从区间内全体整数逐步划去最小素因子分别为$2, 3, 5, ...,$的和数即可。因此我们首先从小到大枚举素数$i$。

把$dp[i]$和这样的一个集合对应起来：当枚举到素数$i$时，$dp[i]$对应集合$DP(i)$，$DP(i)$是区间$[1, \frac{n}{i}]$划去所有包含不超过$i$的素因子的数后得到的集合，$dp[i]$为集合$DP(i)$的阶（长度）。考虑在加入素数$i$后更新$dp[j]$：

$dp[j] := dp[j] - (dp[i * j] - c[i - 1]) (*)$

 注意到$DP(i * j)$和$DP(j)$的前面一部分是相同的，$DP(i * j)$即区间$[1, \frac{n}{i * j}]$经划去所有包含小于$i$素因子合数后得到的集合，它当然包含所有小于$i$的素数。因此

$dp[i * j] - c[i - 1]$中恰好包含了我们更新$dp[j]$时全部需要划去的元素，注意一点，这里$dp[i * j]$与$c[n / i / j]$与$c[n / (i * j)]$是等效的（因为$j$在内层循环逐增时，当且仅当$(i * j) | n$时对应到整数位置）。

因为我们枚举最小素因子$i$，同时保证$n / i / j \geq i - 1$因此控制外层循环$i \leq \sqrt{n} AND n / i / j \geq i - 1$

对于内层循环$j$，仅仅更新那些以后会用到的，这里保证在用到式 $(*)$时，$i * j \leq \sqrt{n}$， 因此$j \leq \sqrt{n}$

当$i * j > \sqrt{n}$时，使用式$dp[j] := dp[j] - (c[n / i / j] - c[i - 1])$替换上面的状态转移方程。

为此可以保证$dp[]$和$c[]$空间均为$O(\sqrt{n})$。

再考虑对$c[]$的更新：

$c[j] := c[j] - (c[j / i] - c[i - 1]) \text{ case }j / i \geq i - 1$

 

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <ctime>
#include <functional>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <assert.h>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define mp std :: make_pair
#define st first
#define nd second
#define keyn (root->ch[1]->ch[0])
#define lson (u << 1)
#define rson (u << 1 | 1)
#define pii std :: pair<int, int>
#define pll pair<ll, ll>
#define pb push_back
#define type(x) __typeof(x.begin())
#define foreach(i, j) for(type(j)i = j.begin(); i != j.end(); i++)
#define FOR(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
#define ROF(i, t, s) for(int i = (t); i >= (s); i--)
#define dbg(x) std::cout << x << std::endl
#define dbg2(x, y) std::cout << x << " " << y << std::endl
#define clr(x, i) memset(x, (i), sizeof(x))
#define maximize(x, y) x = max((x), (y))
#define minimize(x, y) x = min((x), (y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int int_inf = 0x3f3f3f3f;
const ll ll_inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int INT_INF = (int)((1ll << 31) - 1);
const double double_inf = 1e30;
const double eps = 1e-14;
typedef unsigned long long ul;
typedef unsigned int ui;
inline int readint() {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    return x;
}
inline int readstr(char *s) {
    scanf("%s", s);
    return strlen(s);
}

class cmpt {
public:
    bool operator () (const int &x, const int &y) const {
        return x > y;
    }
};

int Rand(int x, int o) {
    //if o set, return [1, x], else return [0, x - 1]
    if (!x) return 0;
    int tem = (int)((double)rand() / RAND_MAX * x) % x;
    return o ? tem + 1 : tem;
}
ll ll_rand(ll x, int o) {
    if (!x) return 0;
    ll tem = (ll)((double)rand() / RAND_MAX * x) % x;
    return o ? tem + 1 : tem;
}

void data_gen() {
    srand(time(0));
    freopen("in.txt", "w", stdout);
    int kases = 1;
    //printf("%d\n", kases);
    while (kases--) {
        ll sz = 100000;
        printf("%d\n", sz);
        FOR(i, 1, sz) {
            int o = Rand(2, 0);
            int O = Rand(26, 0);
            putchar(O + (o ? 'a' : 'A'));
        }
        putchar('\n');
    }
}

const int maxn = 4e5 + 10;
int c[maxn];
ll dp[maxn];
ll n;

ll solve() {
    int mid = (int)sqrt(n + .5);
    FOR(i, 1, mid) dp[i] = n / i - 1, c[i] = i - 1;
    for (int i = 2; i <= mid; i++) {
        if (c[i] == c[i - 1]) continue;
        for (int j = 1; j <= mid && n / i / j >= i - 1; j++) {
            if (j <= mid / i) dp[j] -= dp[i * j] - c[i - 1];
            else dp[j] -= c[n / i / j] - c[i - 1];
        }
        ROF(j, mid, 1) {
            if (j / i < i - 1) break;
            c[j] -= c[j / i] - c[i - 1];
        }
    }
    return dp[1];
}

int main() {
    //data_gen(); return 0;
    //C(); return 0;
    int debug = 0;
    if (debug) freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    while (~scanf("%lld", &n)) {
        ll ans = solve();
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}