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01背包

核心：状态转移方程。

问题简述：

有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

在01背包问题中，每个物品只有一个，每个物品只需要考虑选与不选两种情况，所以可以使用回溯法搜索出所有情况，时间复杂度为O（2^n），n表示物品的数量，如果不选择将其放入背包内，则无需处理，如果选择放入背包内，由于不清楚之前放入物品占了多大空间，需要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所有情况。

暴力的解法是指数级别的时间复杂度，进而才需要动态规划的解法来进行优化！

状态转移方程：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]) ，dp[i][j] 第i个物品，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

最主要的就是对dp进行初始化， 首先将 dp 第0行和第0列初始化为0 ，表示不放物体时最大价值为0 （物体编号从1开始）。

for(int i=1;i<=N;i++)

{

    for(int j=1;j<=M;j++)

    {

        if(j>w[i-1])

            dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);

        else

            dp[i][j]=dp[i-1][j];

    }

}

这是最原始的01背包，具体问题还得具体分析。

可以发现，每次只是使用上一行的数据来计算下一行， 所以可以用一维数组来记录上一行的值，但使用一维的时候要逆序，如果不逆顺序，数组前面的值会覆盖后面的值，重复计算。

for(int i=1;i<=N;i++)

{

    for(int j=W;j>=0;j--)

    {

        if(j>w[i-1])

            dp[j]=max(dp[j], dp[j - w[i-1]]+v[i-1];

     }

}

 

例子：

物品 A重4kg 价值300，B重3kg价值200，C重1kg价值150，背包总重4kg，求最多能装的价值。

 

#include <iostream>

using namespace std;

int dp[3][4];

int main()

{

    int w[3]={4,3,1};

    int v[3]={300,200,150};

    for (int i=1;i<=3;i++)

        {

            for (int j=1;j<=4;j++)

            {

                if (j>=w[i-1])

                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);

                else

                    dp[i][j]=dp[i-1][j];

            }

        }

    int ans=dp[3][4];

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}

 

 

#include <iostream>

using namespace std;

int dp[1000][1000];

int main()

{

    int N,M;

    cin>>N>>M;

    int array[N];

    for(int i=0; i<N; i++) cin>>array[i];

    dp[0][0]=1;

    dp[0][array[0]/2]=1;

    dp[0][array[0]]=1;

    for(int i=1; i<N; i++)

    {

        for(int j=0; j<M; j++)

        {

            if(j>=array[i])

                dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-array[i]]+dp[i-1][j-array[i]/2])%(int)(1e9+7);

            else if(j>=array[i]/2)

                dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-array[i]/2])%(int)(1e9+7);

            else

                dp[i][j]=dp[i-1][j];

            if(i==N-1)

            {

                if(i<M-1)

                    cout<<dp[i][j]<< ' ';

                else

                    cout<<dp[i][j]<<endl;

            }

        }

    }

    return 0;

}

 

注：

最关键的就是初始化和确定遍历顺序。

初始化定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

遍历顺序可以先物品后背包，也可以先背包后物品，但前者理解起来更简单一些。