1-23 周报

1 新学知识:

1.1 快速幂（计算乘方O(log n)）

　　例如5的10次方，怎样算比较快？

　　(1)5*5…*5, 一步一步算。但是这样太慢了,可以拆分问题。

　　(2)先算5的5次方，即5*5*5*5*5，再算它的平方，共进行了5次乘法。

　　(3)先算5*5得25，则5的5次方为25*25*5，再算它的平方，共进行了4次乘法。

递归:

　　#include <iostream>

 

　　using namespace std;

 

　　int fun(int a, int b)

　　{

  　　  if (b == 0)

   　　     return 1;

  　　  else if (b%2 == 1)

  　　      return fun(a,b - 1)*a;

　　    else

   　　 {

  　　      int abs = fun(a,b / 2); //abs存在可以减少递归次数

    　　    return abs*abs;

    　　}

　　}

　　int main()

　　{

　　    int a,b;

  　　  cin>>a>>b;   

 　　   cout<<fun(a,b)<<endl;

　　    return 0;

　　}

非递归（函数）：

　　int fun(int a, int b)

　　{

  　　  int ans = 1;

  　　  while(b)

　　　{

  　　      if(b%2==1)

  　　          ans *= a;

      　　  a *= a;

      　　  b >>= 1;       //n往右移一位

   　　 }

    　　return ans;

　　}

1.2 整数分解为2的幂相加

递归：

　　#include <iostream>

 

　　using namespace std;

 

　　int fun(int n)

　　{

   　　 if (n == 1) return 1;

　　    else if (n%2 == 1)

　　　 　return fun(n - 1);

 　　   else

      　　  return fun(n - 1)+fun(n / 2);

　　}

　　int main()

　　{

　　    int a,ans;

   　　 while(cin>>a)

    　　{

   　　     ans=fun(a);

  　　      cout<<ans<<endl;

 　　   }

   　　 return 0;

　　}

非递归：

　　#include <iostream>

 

　　using namespace std;

 

　　int main()

　　{

  　　  int n;

  　　  while(cin>>n)

  　　  {

   　　     int array[n+1];

  　　      for(int i=0;i<=n;i++)

  　　          array[i]=1; //初始化为1,表示n拆分为n个1,这一种拆分方法

 　　       int k=2;

        　　while(k<=n)

     　　   {

        　　    for(int j = k;j<=n;j++)//通过将1，合并为2的幂，得到的新的方法。

          　　      array[j]+=array[j-k]; //原有的方法个数，加上新的拆分方法个数

       　　     k*=2;

  　　      }

  　　      cout<<array[n]<<endl;

   　　 }

　　　return 0;

　　}

1.3 计算二进制中1的个数

　　#include <iostream>

 

　　using namespace std;

 

　　int main()

　　{

　　    int k,ans=0;

    　　ans>>k;

   　　 while(k)

 　　   {

        　　    k&=k-1;

       　　     ans++;

　　    }

  　　  cout<<ans<<endl;

 　　   return 0;

　　}

　　(1)k-1一个二进制的数减1，就是将这个二进制最右边的那个1变成0，然后它后边的所有位置都变成1~ 举例：0011 0100，减1(n-1)后变成：0011 0011。

　　(2)k&=(k-1)，并操作就会将有0的位置都变成0，上面的例子的结果就是0011 0000，然后再赋值给n，这时n就去掉了一个1，或者叫做计数了一个1。以此类推，就可以得到1的个数。

1.4 更相减损术（求最大公约数）

　　(1)任意给定两个正整数；判断它们是否均为偶数。若是，则用2约分。

　　(2)两数相减取绝对值，接着把所得的差与较小的数相减，并取绝对值。继续这个步骤，直到两数相等。则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中该数的乘积就是所求的最大公约数。

非递归形式：

　　#include <iostream>

 

　　using namespace std;

 

　　int main()

　　{

　　    int a,b;

　　    cin>>a>>b;

   　　 while(a != b)

　　    {

　　        if(a > b)

   　　         a-=b;

    　　    else

    　　        b-=a;

  　　  }

 　　   cout<<a<<endl;

 　　   return 0;

　　}

递归形式：

　　#include <iostream>

 

　　using namespace std;

 

　　int fun(int a,int b)

　　{

   　　 if(a == b)

   　　     return a;

 　　   else if(a > b)

　　        a-=b;

  　　  else

    　　    b-=a;

   　　 return fun(a,b);

　　}

　　int main()

　　{

 　　   int a,b;

 　　   cin>>a>>b;

 　　   cout<<fun(a,b)<<endl;

   　　 return 0;

　　}

　　此外，还了解到了一个以前不知道的代码写法：用if(a & 1)代替if(a%2 == 1)。

2 感悟：

　　我这周做题发现，数学技巧在解决问题中起着很重要的作用，能够简化代码，降低时间复杂度，许多看似困难、复杂的问题，只要运用数学方法，很快就能解决；此外，我操作符和递归方面比较弱，对右移、左移运算符等比较陌生，有待加强。