min-max 容斥

话说min-max容斥的题真的多，所以来学一下。

 

假设先给每一个点一个$val$，我们想求一个集合$|S|$的$max\left \{ i\epsilon S,val_{i}\right \}$  。

则$max(S)=\sum_{T\epsilon S} (-1)^{|T|+1}*min(T)$。

一个在$S$中$rank$为$k$的点前面的系数:$\sum_{i=0}^{|S|-k}(-1)^i*\binom{|S|-k}{i}=(1-1)^{|S|-k}$。

然后就是只有$max$系数为1，剩下都是0了。

然后期望概率用到这个东西，因为期望可以理解为所有情况的一个综合，所以相当于统计了所有的情况。

 

还有kth min-max容斥。

就是$kthmax(S)$等于啥的问题。

首先我们设$kthmax(S)=\sum_{T\epsilon S}f(|T|-1)*min(T)$，$f(x)$代表$x+1$个点的系数。（因为min好求所以才这么设的式子吧。。。）

 

设第n大(标号从0开始)，$[n==kth]=g(n)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}*f(i)$。

要用二项式反演，就是$g(n)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}*f(i)\rightarrow f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*\binom{n}{i}$。

得到$f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*\binom{n}{i}*g(i)=(-1)^{n+kth}*\binom{n}{kth}$。

所以$kthmax(S)=\sum_{T\epsilon S}(-1)^{|T|+kth-1}*\binom{|T|-1}{kth}*min(T)$。