大地测量基本知识1， 高斯投影及换带计算

　　介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。

包含的基本知识有：正形投影，高斯坐标正反算及换带计算。

地图投影：将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。

椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。

投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。

 1 地图投影的分类

•按变形性质分类

（1）等角投影，又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。

（2）等积投影，在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。

（3）等距投影，定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。

•按投影面的形状分类

（1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

（2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

（3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

 

• 中国各种地图投影

1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。

2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投影（宽带）。

3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。

 

从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。

2 高斯投影概述

控制测量对地图投影的要求

1）等角投影（又称正形投影）

2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。

3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体 。

高斯投影的基本概念

高斯投影是等角横切椭圆柱投影。

高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投影”，简称“高斯投影”。

 （1）高斯投影原理

　　高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。

 

（2）高斯投影必须满足

高斯投影为正形投影，即等角投影；   

中央子午线投影后为直线，且为投影的对称轴；

中央子午线投影后长度不变。

（3）高斯投影的特点

中央子午线投影后为直线，且长度不变。

除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对称轴。投影后有长度变形。

赤道线投影后为直线，但有长度变形。

除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。

经线与纬线投影后仍然保持正交。

所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l。

离中央子午线愈远，长度变形愈大。

（4）投影带的划分

我国规定按经差6º和3º进行投影分带。6º带自首子午线开始，按6º的经差自西向东分成60个带。3º带自1.5 º开始，按3º的经差自西向东分成120个带。

 

  6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:

3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带。

高斯平面直角坐标系的建立

由于我国的位于北半球，东西横跨12个6º带，各带又独自构成直角坐标系。

故：X值均为正，而Y值则有正有负。

椭球面三角系化算到高斯平面

将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是

将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检核还应进行反算，亦即根据x，y反算B，L。

通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。

通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。

通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。

将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。

 

3  高斯投影坐标正反算公式

对于任何一种投影：①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条件。

1、高斯投影坐标正算公式： B,l -->  x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；

②中央子午线投影后长度不变；

③投影具有正形性质，即正形投影条件

  

               高斯投影正算公式

2、高斯投影坐标反算公式：x,y --> B,l

 

满足以下三个条件：

① x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；

② x坐标轴投影后长度不变；

③ 投影具有正形性质，即正形投影条件。

                                          

3、高斯投影坐标正反算公式的几何解释

 

 

 

①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。

②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。

③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。

④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。

 

 

 

 

参考文献：

1. 武汉大学测绘学院《大地测量基础》课件， 第1章 大地测量学基础.ppt