气体相关笔记

理想气体相关

对于一个密闭容器，其中的气体分子事实上是在做无规则的运动，我们在高中课本中已学过分子动理论，这告诉我们气体压强来源于分子对容器壁的碰撞，我们可以借此来推导玻意耳定律。\(\\\)
不妨假设是一个正方体容器，若是其他形状容器采用微元法亦可，这里只是推导方便。先考虑只有一个方向的碰撞。\(\\\)
设其边长为 \(L\)，对于一个质量为 \(m\) 的分子，速率为 \(v\)，碰撞容器壁时该方向速率反向。有动量定理，\(I = \int F dt = \Delta p = -2mv\)。\(\\\)
对于一个分子，虽然在运动中会与别的分子碰撞，但是均摊下来一秒撞击 \(\frac{v}{2L}\) 次，那么 \(\overline F = \frac{mv^2}{L}\)。\(\\\)
于是有一个方向的压强为 \(p = \frac{m\overline {v^2}}{L^3}\)，共三个方向，则可认为 \(v_x = v_y = v_z\)，于是有 \(pV = \frac{1}{3}Nm\overline {v^2} = \frac{2}{3}nME_k\)。其中 \(E_k\) 是 \(1\) mol 气体的平均动能，有 \(E_k = f(T)\)。\(\\\)
那么当温度不变时，\(pV\) 为定值，即为玻意耳定律。此外，实验证明了 \(V\) 不变时，\(p\) 与热力学温度 \(T\) 成正比，综上，我们可以得到理想气体状态方程：\(pV = nRT\)，其中 \(R = 8.3145 J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}\)。\(\\\)
从而我们就知道 \(E_k = \frac{3RT}{2N_A}\) 进而有 \(v_{rms} = \sqrt \frac{3RT}{M}\)。此外，其实我们有 \(v_m = \sqrt \frac{2RT}{M},\overline v = \sqrt \frac{8RT}{3\pi M}\)。对于理想气体的分子速率分布概率，我们有 Maxwell 分布：$$\frac{dn}{n} = 4 \pi (\frac{M}{2\pi RT})^{1.5} v^2 e^{\frac{-M v^2}{2RT}} $$
画成图像就是这样：

图源：ply 的化学博客。\(\\\)
此外我们还有气体扩散定律，即 \(\frac{v_a}{v_b} = \sqrt \frac{M_b}{M_a}\)。这容易由上文的分子动理论导出。

非理想气体

考虑理想气体我们忽略了什么，一个是分子间的引力，一个是分子的本身体积。这导致在高压下，理想气体状态方程误差较大，于是我们有范德华方程，在原有的基础上加入了修正因子 \(a,b\) 来修正压强和体积：

\[(p + \frac{a n^2}{V^2})(V - nb) = nRT \]

在具体题目中会给出 \(a,b\) 便可以实际计算。