模拟电路学习-之电容，电感重新认识

一、电容

电容是构成基础电路的原件，它的重要性就不多说了，下面是关于电容的一些特性：

• 【1】线性电容端电压和积聚的电荷量的关系是：q=Cu(其中C就是电容，单位法拉，u是电压，单位福特，q单位库伦)
• 【2】电容伏安特性：i = dq/dt=Cdu/dt（上面知道q=Cu,两边对u求导数，则dq/du=C，进而dq = Cdu），可以发现电容上流经的电流与电压的变化率成正比，与电压大小无关，这也就有了当电路稳定后，电容可以看做是开路
• 【3】电容的串并联特性和恰恰相反。
  • 串联：1/C = 1/C1 + 1/C2 .即C = C1C2/(C1+C2)，串联的电容反而变小了，和电阻恰恰相反。
  • 并联：C=C1+C2.。

1.充电过程（一阶电路零状态响应）

所谓零状态响应就是：电路中储能元件上初始储能为0 ，也就是充电过程

充电原理分析

下图是从网上找到的，可以对比自己推导的公式，可以有下面自己推导公司看，这个图绘制的还是比较精准的^__

为了能清楚理解电容充电过程，这里亲自推导了一下，充电公式。下图当通电后，由于一开始电容没有充电，可以理解成短路，此时电路中是有电流通过的(i=Cdu/dt)

只需要记住最后一个公式即可：Uc = U(1-e^(-t/RC))

• 当t = 0.5RC时，Uc = U(1 - e^-0.5) = U(1 - 1/e^0.5) = U(1-1/1.648) = U(1-0.6067) = 0.4U,也就是说当时间t = 0.5RC过程时，电容两边电压已经到了0.4U，快过一半了。
• 当t= 2RC时，Uc = U(1-e^-2) = U(1 - 1/e^2) = U(1-1/7.3875) = U(1-0.1353) = 0.87U
• 当t = 4RC时，Uc = U(1-e^-4) = U(1 - 1/e^4) = U(1-1/54.575) = U(1-0.018) = 0.99U，基本充满了。

充电例子解说

• 实验电路原理图
  电路电阻精度不是很高，不过基本达到470欧姆了
  
• 实验实物连接线路
  电路很简单，连接一会就搭建好了，呵呵有些乱。
  
• 实验结果：
  由上面的实验所得，当t = 4RC时，电容基本充电完成，下图可观察到充电时间大约1.8S左右(不需要太精确，差不多就行了)
  
  这里R = 470欧姆，C= 470uF+470uF = 940uF；
  则t = 4 X 470 X 940 X10^-6 = 1.7672s.(哈哈，理论和实践时吻合的，实验成功了)

2.放电过程（一阶电路零输入响应）

所谓零输入响应就是：电容充满电之后，断开电源后，电路仅由储能元件供电的电路响应。

• 放电原理分析：
  
  只需要记住最后一个公式即可：Uc = Ue^(-t/RC)

  • 当t = 0.5RC时，Uc = U e^-0.5 = U/e^0.5 = U/1.648) = 0.6067U,也就是说当时间t = 0.5RC过程时，电容两边电压已经到了0.4U，快过一半了。
  • 当t= 2RC时，Uc = Ue^-2 = U/e^2 = U/7.3875 = 0.1353U
  • 当t = 4RC时，Uc = Ue^-4 = U/e^4= U/54.575 = 0.018U 基本放完了。

• 实验结果：
  这里实验时为了达到实验效果，我把LED灯去掉了，下面的实验结果图为无LED状态，因为PN结的导通电压大概在0.7V左右，所以当LED两端的电压小于0.7V时，电路时断开状态，电容中的电量无法充分释放，这里当时用万用表测量了一下，
  带LED时，电路电能释放完成后，电容两端的电压为1.72V左右
  
  则t = 4 X 470 X 940 X10^-6 = 1.7672s.(哈哈，理论和实践时吻合的，实验成功了)

二、电感

1.充能过程 （一阶电路零状态响应）

所谓零状态响应就是：电路中储能元件上初始储能为0 ，也就是充电过程

只需要记住最后一个公式即可：I = U/R(1-e^(-Rt/L))

• 当t = 0.5L/R时，I = U/R(1 - e^-0.5) = U/R(1 - 1/e^0.5) = U/R(1-1/1.648) = U/R(1-0.6067) = 0.4U/R,也就是说当时间t = 0.5L/R过程时，电感两边电压已经到了0.4U/R，快过一半了。
• 当t = 2L/R时，I = U/R(1-e^-2) = U/R(1 - 1/e^2) = U/R(1-1/7.3875) = U/R(1-0.1353) = 0.87U/R
• 当t = 4L/R时，I = U/R(1-e^-4) =U/R(1 - 1/e^4) = U/R(1-1/54.575) = U/R(1-0.018) = 0.99U/R，基本充满了。
  可以发现充电过程和电容的惊人的相似

2.释放能量过程（一阶电路零输入响应）

所谓零输入响应就是：电感充满电之后，断开电源后，电路仅由电感元件供电的电路响应。

只需要记住最后一个公式即可：I = (Ue^(-Rt/L)) / R

• 当t = 0.5L/R时，I = (U/e^0.5)/R = (U/1.648) /R = 0.6067U/R,也就是说当时间t = 0.5RC过程时，电容两边电压已经到了0.4U，快过一半了。
• 当t = 2L/R时，I = (U/e^2) /R =(U/7.3875) /R = 0.1353U/R
• 当t = 4L/R时，I = (U/e^4) /R= (U/54.575) /R = 0.018U/R 基本放完了。
  同样放电时间规律和电容是一样的，

3.实验例子

目前手头没有电感元件，无法完成实验，等后面有原件了，在做一下实验吧，眼见为实呗。

三，总结

• 电容和电感的充电过程惊人的相似，从充电曲线上也可以发现这一规律。f(t) = f(∞) + (((f(0) - f(∞))e^(-t/k ))，其中f(t)为电路的响应，这里是电压或电流，f(∞)是电路稳定后的状态,f(0)为电路一开始状态

  • 电容充电过程为电压改变引起有电容流过电容，那么上式中的f(t)就是电容实时电压，f(0)为电容充电之前两端电压为0，f(∞)为电容充满电后电容两端的电压，很显然为电源电压U，k为时间系数k=RC，那么
    上式可以写成Uc = U(1-e^(-t/k )),这样挺好记的。
  • 同样电感的充电过程是，电流的变化引起电路状态改变，这里f(t)就是电感实时电流，f(0)为电感充电之前的电流为0，f(∞)为电感充满电后流经电感的电流显然为U/R。k为时间系数k=L/R，那么上式可以写成I = (U/R)(1-e^(-t/k ))

• 同样电感和电容的放电过程也满足f(t) = f(∞) + (((f(0) - f(∞))e^(-t/k ))，其中f(t)为电路的响应，这里是电压或电流，f(∞)是电路稳定后的状态,f(0)为电路一开始状态

  • 电容放电过程为电压改变引起有电容流过电容，那么上式中的f(t)就是电容实时电压，f(0)为电容放电之前两端电压为U，f(∞)为电容放完电后电容两端的电压，很显然为电源电压0，k为时间系数k=RC，那么
    上式可以写成Uc = -Ue^(-t/k )
  • 同样电感的放电过程是电流的变化引起电路状态改变，这里f(t)就是电感实时电流，f(0)为电感放电之前的电流为U/R，f(∞)为电感充满电后流经电感的电流显然为0。k为时间系数k=L/R，那么上式可以写成I = -(U/R)e^(-t/k )

• 电容和电感的标量越大，则电路充放电越慢，存放的能量也就越大