离线问题大杂烩

离线问题综合

本文为笔记~希望能帮到您！看完就点个赞再走吧，如果可以的话教我莫队就更好了！

CSES1734 - Distinct Values Queries

给定一个数列。有 $Q$ 个查询，每个查询给定一个区间，输出区间不同数字的个数。

值域：$1\le x_i \le 1e9$ ，数列长度和询问个数都是 $2e5$ 。

样例：

Input:

Output:

2 
3

没有修改操作，考虑离线处理。

noip1= 大佬一秒钟想到了莫队，但实际上不用。

考虑将询问按右端点位置排序。

定义一个新数组 $Color$ ，将每一个数在已经查询到的区间里面最右边一个设为 $1$ 。

对于每个询问， BIT 求和即可。

细节是如何记录上一个为 $1$ 的当前数字，也不难想， $map$ 乱搞就好。

代码就不放了，毕竟要赶暑假作业。

CSES2416- Increasing Array Queries

给定一个序列，每个查询，输出对于一个区间，最少多少次操作才能将自区间变成非严格 $LIS$ 。

操作：选定区间内任意一个数，加上 $1$ 。

Input:

Output:

2
0
14

显而易见的 Subtask ：

对于给定一个区间，如何把它通过上面那种操作变成非严格 $LIS$ ?

其实很简单，$O(n)$ dp 就好。

\[\begin{equation} \label{} dp[i]=\left\{ \begin{aligned}dp[i-1](a[i]\ge a[i-1]) \\ dp[i-1]+a[i-1]-a[i] (a[i] < a[i-1]) \end{aligned} \right. \end{equation} \]

可以用分块等方法优化到根号。（我不会）

正解：

从右往左扫序列。当扫到点 $P$ 时，对于每个点 $i,P\le i \le n$ 维护一个值：$maxx_i$ ,定义如下：

\[\begin{equation} maxx_i= \mathop{\max}_{P\le j \le i} a_j \end{equation} \]

当在当前扫到的点 $P$ 左边新加入一个点时，我们如何维护已经扫过的点的 $maxx$ 值？

其实更新时 $maxx$ 值更改的部分是从 $P$ 开始往右连续的一段区间。

结合一个例子：

点 $P$ 的定义和刚刚一样， $P$ 往后的就是已经扫到的，现在考虑 $P$ 前面新增的点 $P-1$ ：

$i$	P-1	P	P+1	P+2	P+3	P+4	P+5	P+6	P+7
$a_i$	5	3	2	2	2	1	5	4	6
$maxx_i$	---	3	3	3	3	3	5	5	6
更新后：	5	5	5	5	5	5	5	5	6

我们发现新增了点 $5$ 之后，只更改了 $P$ 到 $P+4$ 的 $maxx$ 值。

由于 $maxx$ 数组是单调的，考虑二分。

我们最后求的区间 $[l,r]$ 的答案就是当扫描到 $l$ 时，

\[\sum_{l\le j \le r}maxx_j \]

所以用 sgt 维护。在二分更改时同时更改懒标记，可以实现 $O(logn)$ 的复杂度修改（暴力是对数平方）。

询问也是一只 $\log$ ，可以通过本题。

Problem - 1132G - Codeforces

定义最长贪心子序列：选了一个数就必须选第一个比它大的数。

给定一个数 $k$ ,按顺序求出每一个长度为 $k$ 的连续自区间最长贪心子序列的长度。

序列长度 $n\le 1e6$ 。

sample-in:

6 4
1 5 2 5 3 6

sample-out

2 2 3

解释：

序列1：（1,5,2,5）选择（1,5）或者（2,5）均可。
序列2：（5,2,5,3）选择（2,5）。
序列3：（2,5,3,6）选择（2,5,6）。

思路：

先预处理出每个数选择之后必须选的下一个数（这个是固定的）：叫作 $next$ 数组。

每个结点的后继唯一，可以当做一条链。

对于已经当前区间，把每个点 $i$ 和 $next_i$ 连一条边，那么就可以构造出一棵树。

原问题化成一个区间最长链问题，即在树中找一条深度最长的链。

有点像 Cartessian 树？我也觉得 /kk 。

建树：

先把每个点的 $dfn$ 和 $siz$ 预处理出来。

树上维护要使用树剖（长链剖分），~~我不会~~，考虑一种化简为繁的方法：sgt

通过 $dfn$ 序把树拍到一个序列上（跟 Tarjan 求 $\text{LCA}$ 一样），通过线段树区间修改。

考虑新增点和删除点。

新增点 $a[x]$ : 就把以结点 $x$ 为根的子树的最长链上的每个结点的大小 $+1$ 。区间修改板子。

删除点，有两种办法：

1. 以删除结点 $x$ 为根的子树的最长链上的每个结点的大小 $-1$ 。~~区间修改板子。~~
2. 单点修改，把那个点的点权改为 $-114514$ 。

本质一样，我用的是方法 $1$ 。

实现：

不难写，读者能耐心读到这里，一定有一定的代码能力，自己切了吧~~

备注：

等我学会了长链剖分，回来补代码。

Problem - 319E - Codeforces

洛谷评分 $NOI/NOI+/CTSC$ , $Codeforces 3000+$ 的难题。

有一个区间的集合，设为 $S$ , 初始为空。

注意：本题中区间左闭右开。

如果对于区间 (a,b) 和 (c,d) ，满足：

区间有交集，即 $c<a<d$ 或 $b<c<d$ 。
区间都在集合中出现，即 $(a,b)\in S \And (c,d)\in S$

您就可以从区间 (a,b) 走到 (c,d）。

操作：

1 x y，加入一个新区间 (x,y)。保证加入的区间长度严格单调递增。
2 a b，询问是否能从第 a 个加入的区间移动到第 b 个。

定义：

定义一个区块指一些区间的并集。

即：只要一些点在一个区块内，这些点互相可达。

结论：

设一开始有区块 $J$ ，现在新增一个区间 $I$ 。

Lemma α ：如果 $I \cup J \neq \emptyset$ ，下证 $I$ 与 $J$ 内任意集合可达。

考虑 $J$ 内上一个区间 $I_0$ ,根据性质 $|I_0|\le|I|$ 可以证明上结论。（手玩一下）?

Lemma β ：和上面差不多，如果与 $I$ 有交集的区块有 $J_1,J_2,J_3,\ldots,J_k$ , 那么这些区块和 $I$ 可以形成一个新区块。

证明和上面差不多，考虑归纳法。~~读者自证不难。~~

可以发现，这些区块具有嵌套性。

如何实现？

先维护这些区块（起点，终点）。

每次新增区间(a,b) 时，找到所有属于区块且覆盖 $a$ 和 $b$ 的区间，删掉这些区间，把新区间加进去就好了。

考虑询问，如何判断 $I_a$ 区间属不属于区块 $J$ ？

对于以上两种操作，如何用 $DS$ 维护？

$DS$ 太难了，我只会 $DSU$ 。

可爱的并查姬~

还有个小细节，我们对于一个区间 $x$ ，如何判断 $x$ 在哪个区块中？

先把端点离散化，然后用线段树维护查询就好了。

大致流程：

用并查姬维护连通块，离散化后用线段树维护每个区块，把一个区间拆分成 $\log n$ 个线段树结点。

每加入一条边，就把它左右端点对应在线段树中的节点到根节点的路径合并掉，修改 $lazytag$ 。

询问：判断属不属于一个并查姬。

时间复杂度：

每次操作在线段树上 $update$ ，时间复杂度 $\log n$ ，操作同时合并并查集，时间复杂度 $\log n$ 。

询问时判断是不是在一个 $\text{dsu}$ 中，复杂度 $\log n$ 。

综上，时间复杂度为 $O(n\log^2n)$ 。

F - Wide Swap (AGC001)

第一场 $AGC$ 的题，洛谷黑题。

给出一个元素集合为 {$1,2,\dots,n$} $(1\leq N\leq 500,000)$ 的排列 $P$ ，当有 $i,j (1\leq i<j\leq N)$满足 $j-i\ge K $ 且 $ |P_{i}-P_{j}|=1$ 时，可以交换 $P_i $ 和 $P_j$ 。

求：可能排列中字典序最小的排列。

我们称置换是从 $i$ 到 $P_i$ 的映射成为置换 $T$ 。

考虑逆置换 $T^{-1}$ 表示从 $P_i$ 到 $i$ 的映射。

考虑一组样例：

$A=[1,2,3,4,5]$

$P=[4,3,1,2,5]$

经过置换 $Q$ 之后，$A_1=[4,3,1,2,5]$ ;

再做一下逆置换， $A_2=[1,2,3,4,5]$

(废话)

讲解完逆置换之后，我们考虑在逆置换的意义下解决本题。

将原问题转换为等价问题：

对于逆置换后的数组 $Q$ (其实 $Q=P$) ,原问题转化为：如果 $Q_{x+1}-Q_{x}\le K$ $(1\le x < N)$

那么可以交换 $(Q_{x+1},Q_{x})$ 。

让操作后 $Q$ 数组的字典序最小。

posted @ 2022-10-25 21:10 ArizonaYYDS 阅读(123) 评论(0) 收藏举报

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