Akane Weekly #9 NOIP 十连测 (8)

Akane Weekly #9

A.测测你的签到水平

每次相当于区间经过次数加一，差分维护，贪心地取最大值即可。

B.测测你的计数水平

先枚举第一个需要的三种方案，然后对剩下的区间做 DP，枚举每一条线的方案，最多只有两种可能。

DP1 维护最多可以选多少条线，DP2 表示此时的方案数，对于每一条线枚举选不选即可。

时间复杂度 \(O(n)\) 。

C.测测你的优化水平

测的是优化水平，但难想的是状态。

考虑一个性质，把所有点按照 \(x\) 排序，假设前面的依靠 \(x\) 选的 \(y\) 坐标最大值为 \(j\) ，那么如果当前点 \(y\) 坐标小于 \(j\) ，则当前点只能按照 \(x\) 选择了，因为如果按照 \(y\) 选，前面有更大的 \(y\) 还没有选，如果先选那个 \(x\) ,因为当前点 \(x\) 更大，也选不了。

因此题目限制变成了一个逆序对的限制，我们令 \(dp_{i,j}\) 表示选到第 \(i\) 个，前面的按照 \(x\) 选的的 \(y\) 坐标坐标小于 \(j\) 的方案数，枚举转移即可，时间复杂度 \(O(n^2)\) ，50 分。

优化非常显然，对于 \(j>y_i\) 只能用选 \(x\) 一种转移，相当于 \(dp_{i,j}\leftarrow dp_{i-1，j}+x_i\) ，即区间加。

对于 \(j<y_i\) 则只能用 \(y\) 一种转移，相当于 \(dp_{i,j}\leftarrow dp_{i-1,j}+y_i\) ，也是区间加。

对于 \(j=y_i\) 则两种转移都可以。

第一种是按照 \(y\) 转移，和 \(j<y_i\) 一类一样。

第二种是按照 \(x\) 转移，此时，我们要从所有 \(p\in[1,y_i] \min{dp_{i,p}} +x_i\) 转移过来，因为前面的只需要小于 \(y_i\) 都满足，即区间 \(\min\) ，单点覆盖。

查询答案是一个区间 \(\min\) 。

我们使用线段树维护如上过程，时间复杂度 \(O(n \log n)\) 。

D.测测你的网络流水平

• 50 pts

枚举源点和汇点，暴力。

• 70 pts

相当于多源点最小割问题，用最小割树，分治来做。

洛谷模板：P4897 【模板】最小割树（Gomory-Hu Tree） - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

• 100pts

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