Codeforces Round 1766 D

Codeforces Round 1766

Educational Codeforces Round 139 (Rated for Div. 2)

---

D. Lucky Chains

简要题意：

有 \(n\) 组数据 （\(1 \le n \le 10^6\)），每组输入两个数 \(x,y,(1\le x,y \le 10^7)\) 。

找一个最小的自然数 \(k\) ，使得 \(\gcd(x+k,y+k)\neq1\) ，如果找不到，输出 \(-1\) 。

Idea：

考虑 $x $ 和 \(y\) 的差 \(d\) 。

由题意，不妨设 \(m |(x+k)\) ，\(m|(y+k)\) 。

有整除的可见性，得到 \(m|(x+k-y-k)\) 即 \(m|d\) 。

相当于在 \(d\) 的因子中找一个 \(m\) ，使得 \(k\) 最小。

形式化地，有

\[opt(x,y)=\min_{m|d}(x+m-1)/m*m-x \]

枚举 \(d\) 的因子 \(m\) ，我们得到了一种 \(O(n\sqrt{d})\) 的做法。

Solution：

上面的做法不能通过本题，考虑优化。

考虑 \(d\) 的两个质因子 \(p,t\) （假设有），发现 \(m\) 取 \(p\) 或 \(t\) 时的解肯定不劣于 \(m\) 取 \(pt\) 时的，因为 \(pt|x+k\) 时同时满足 \(p|x+k\) 、\(t|x+k\) ，反之则不一定。所以只枚举 \(d\) 的质因数即可。

如果我们知道值域内每个数的一个质因数，则枚举 \(d\) 的质因子这一问题可以通过递归解决，时间复杂度 \(O(\log w)\) ( \(w\) 为值域，\(1 \le w \le 1e7\) ) 。

预处理值域内每个数的一个质因数可以通过埃氏筛解决，时间复杂度 \(O(w \log w)\) 。

至此，本问题在 \(O(w \log w + n \log w)\) 时间内解决。

Code：

代码很短。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e7+100;
int a[maxn];
void init(){
	for(int i=1;i<maxn;i++) a[i]=i;
	for(int i=2;i<maxn;i+=2){
		a[i]=2;
	}
	for(int i=3;i<maxn;i+=2){
		if(a[i]!=i){
			continue;
		}
		for(int j=3;i*j<maxn;j+=2){
			a[i*j]=i;
		}
	} 
} 
int opt(int x,int y){
	int d=y-x;
	int ans=1e9+100;
	if(d==1){
		return -1;
	}
	while(d>1){
		ans=min(ans,a[d]-x%a[d]);
		if(x%a[d]==0){
			ans=0;
			break;
		}
		d/=a[d];
	}
	return ans;
}
int main(){
	init();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	int x,y;
	while(t--){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",opt(x,y));
	}
	return 0;
}