常系数齐次线性递推数列

常系数齐次线性递推数列

齐次线性递推方程

$H(n)-a_{1}H(n-1)-a_{2}H(n-2)-a_{k}H(n-k)=0$ (1)

$H(0)=b_0,H(1)=b_1,H(2)=b_2,\cdots ,H(k-1)=b_{k-1}$ (2)

称作k阶常系数齐次线性递推数列。

二阶，直接求解（高考）

假如能够将递推关系式改写为 $(a_n-p{a}_{n-1})=q(a_{n-1}-p{a}_{n-2})$ 的形式，就可以求出通项公式。

$$a_n-p{a}_{n-1}=q(a_{n-1}-p{a}_{n-2})=q^2(a_{n-2}-p{a}_{n-3})=\cdots =q^{n-2}(a_2-p{a}_1)$$

$$p{a}_{n-1}-p^2{a}_{n-2}=p{q}^{n-3}(a_2-p{a}_1)$$

……

$$p^{n-2}{a}_2-p^{n-1}{a}_1=p^{n-2}{q}^0(a_2-p{a}_1)$$

$$a_n-p^{n-1}{a}_1=\sum _{k=0}^{n-2}{p}^{(n-2)-k}{q}^k(a_2-p{a}_1)=(q^0{p}^{n-2}+q{p}^{n-3}+q^2{p}^{n-4}+\cdots +q^{n-2}{p}^0)(a_2-p{a}_1)$$

离散数学结论

(1)的特征方程是

$x^k-a_1{x}^{k-1}-\cdots -a_k=0$ (3)

特征方程的根就是特征根。

对于非零复数 $q$ ， $H(n)=q^n$ 是(1)的解当且仅当 $q$ 是它的特征根。

若 $h_1(n)$ 和 $h_2(n)$ 是(1)的解，则 $c_1{h}_1(n)+c_2{h}_2(n)$ 也是这个递推方程的解。

若(3)有k个特征根 $q_1,q_2,\cdots ,q_k$ ，则 $c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+\cdots +c_k{q}_k^n$ 也是这个递推方程的解。

如果对于(2)中任意取的 $b_0,b_1,\cdots ,b_{k-1}$ 都存在一组常数\(c_1',c_2',\cdots,c_{ k }'\)，使得\(c_1'q_1^n + c_2' q_n^n + \cdots + c_k' q_k^n\)使方程组(1)(2)成立，则称\(c_1'q_1^n + c_2' q_n^n + \cdots + c_k' q_k^n\)是通解。

如果 $q_1,q_2,\cdots ,q_k$ 两两不等，则可以证明 $c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+\cdots +c_k{q}_k^n$ 就是递推方程(1)的通解。（线性方程，范德蒙德行列式）

如果存在重根， $q_i$ 的重数是 $e_i$ ， $i=\mathrm{1,2},\cdots ,t$ ，则 $H_i(n)=(c_{i1}+c_{i2}n+\cdots +c_{{\mathit{ie}}_i}{n}^{e_i-1})q_i^n$ ，通解是 $H(n)=\sum _{i=1}^t{H}_i(n)$ （没有证明）

微分方程

构造 $f(x)=a_0+\frac{a_1}{1!}x+\frac{a_2}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a_n}{n!}{x}^n+\cdots$

根据泰勒公式， $f^{(n)}(0)=a_n$

那么 $f^{(n)}(0)-a_1{f}^{(n-1)}(0)-a_2{f}^{(n-2)}(0)-\cdots -a_k{f}^{(n-k)}(0)=0$

等价于 $f^{(k)}(0)-a_1{f}^{(k-1)}(0)-a_2{f}^{(k-2)}(0)-\cdots -a_k{f}^{(0)}(0)=0$

解高阶线性齐次微分方程 $f^{(k)}(x)-a_1{f}^{(k-1)}(x)-a_2{f}^{(k-2)}(x)-\cdots -a_k{f}^{(0)}(x)=0$ ，解出 $f(x)$ ，然后求 $f^{(n)}(0)$ 即可。