全源最短路径 - floyd算法 - O(N ^ 3)

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

设D_i,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

1. 若最短路径经过点k，则D_i,j,k = D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1}；
2. 若最短路径不经过点k，则D_i,j,k = D_{i,j,k − 1}。

因此，D_i,j,k = min(D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1},D_{i,j,k − 1})。

 

for (k = 1; k <= n; k++)  //经过编号为前k个的顶点
{
    for (i = 1; i <= n; i++)
    { 
        for (j = 1; j < i; j++)
        {
                if (0 == A[i][k] || 0 == A[k][j])
                    continue;
                if (0 == A[i][j] || A[i][k] + A[k][j] < A[i][j])
                    A[i][j] = A[j][i] = A[i][k] + A[k][j];
        }
    }
}