主方程介绍

参考

1. Stochastic Numerical Methods: An Introduction for Students and Scientists, Ch8, Raul Toral and Pere Colet.
2. https://spaces.ac.cn/archives/4598
3. http://staff.ustc.edu.cn/~chenzyn/lectures/chapter2.pdf

主方程推导

离散形式

考虑一个粒子，其可取状态为全体整数集\(Z\)，其状态转移是一个马尔可夫过程。假设这个马尔可夫过程满足如下光滑性假设：
设在时间t时粒子处于状态i，则粒子在(t, t+dt)区间内只经历一次状态跳跃到达状态j的概率可以写为

\[P = w(i \rightarrow j, t)dt + O(dt^2) \]

如果\(w(i \rightarrow j, t)\)和t无关，我们写为：

\[P = w(i \rightarrow j)dt + O(dt^2) \]

考虑\(\frac{\partial p(i, t)}{\partial t}\)，我们有：

\[p(i, t+dt) = p(i, t)(1-\sum_{j \neq i}w(i \rightarrow j)dt) + \sum_{j \neq i}p(j, t)w(j \rightarrow i)dt + O(dt^2) \]

于是，

\[\frac{\partial p(i, t)}{\partial t} = -\sum_{j \neq i}w(i \rightarrow j)p(i, t) + \sum_{j \neq i}w(j \rightarrow i)p(j, t) \]

定义\(W_{i,i}=-\sum_{j \neq i}w(i \rightarrow j), W_{i,j}=w(j \rightarrow i)\)，我们将上式写为

\[\frac{\partial p(i, t)}{\partial t} = \sum W_{i,j}P(j,t) \]

写为矩阵形式：

\[\frac{\partial P(t)}{\partial t} = W P(t) \]

其中\(P(t)=(...,p(-1,t), p(0,t), p(1,t),...)^T\)；注意W所有的行之和为零行向量。结合初始条件\(P(0)\)，可以求解。
也可以定义\(J(i \rightarrow j)=\sum_{j \neq i}w(j \rightarrow i)p(j, t) - w(i \rightarrow j)p(i, t)\)，将方程写为

\[\frac{\partial p(i, t)}{\partial t} = \sum_{j \neq i} J(i \rightarrow j) \]

这里求和也可以取i。

连续形式

\[\frac{\partial f(x, t)}{\partial t} = \int w(r \rightarrow x)f(r, t) - w(x \rightarrow r)f(x, t) dr \]

从参考2亦可得到类似形式.

生成函数方法

当状态空间数目很大时，求解一组方程绝非易事。但生成元方法可以将一组方程转化为一个多维PDE的求解问题。定义

\[G(s,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}p(n,t)s^n \]

容易发现\(G(1,t)=\sum p(n,t)=1\)。如果将\(G(s,t)\)看为定义在\((-1,1) \times (0,\infty)\)上的二维函数，则这是右边界条件。而初始条件\(G(s,0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}p(n,0)s^n\)由初始分布唯一确定。
更进一步，我们在右边界上的条件可以和矩联系起来：

\[\frac{\partial G(s,t)}{\partial s} \mid_{s=1} = \sum_n p(n,t)n = E[\epsilon (t)] = <n(t)> \]

\[\frac{\partial }{\partial s} s\frac{\partial G(s,t)}{\partial s} \mid_{s=1} = <n^2(t)> \]

如果这些矩信息可知，则能进一步给定边界条件。
现在考虑在区域内满足的方程：

\[\frac{\partial G(s,t)}{\partial t} = \sum_n s^n \frac{\partial p(n,t)}{\partial t} = \sum_n s^n \sum_j J(n \rightarrow j) \]

在具体的问题下，可能通过变换将右式再次变为关于\(G(s,t)\)的函数，从而得到PDE表示。

Mean-Field Theory

生成函数方法将多个方程组转化为一个整体的PDE方程，但有时候我们做不到处理如此之多的信息，而有时候获得关于一阶矩的信息就足够了，因此可以考虑将方程组转化为关于一阶矩的形式。
一般形式的离散主方程可以写为：

\[\frac{\partial p(n, t)}{\partial t} = \sum_l (E^l-1) \Omega (n \rightarrow n-l)p(n,t) \]

其中，算子\(E\)不是求期望，\(Ef(n):=f(n+1)\)。如果将上式乘n，并对n求和，可以得到

\[\frac{\partial <n(t)>}{\partial t} = -\sum_l <l \Omega (n \rightarrow n-l) \]

如果经过变换后，方程中含有高阶矩或交叉矩，可以考虑使用合理的近似，将其转化为可以求解的形式。

Fokker-Planck方程

该方法使用Taylor展开做近似，并忽略高于二阶的残差项。
我们可以做如下近似：

\[E^l f(n) = f(n+l) \approx f(n) + l\frac{\partial f}{\partial n} + \frac{l^2}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial n^2} \]

这样，我们可以得到：

\[\frac{\partial p(n,t)}{\partial t} = \sum_l l \frac{\partial}{\partial n} \Omega (n \rightarrow n-l)p(n,t) + \frac{l^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial n^2} (\Omega (n \rightarrow n-l)p(n,t)) \]

右式可以写为：

\[\frac{\partial}{\partial n}(F(n)p(n,t) + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial n} (G(n)p(n,t)) \]

其中，\(F(n)=\sum_l l\Omega (n \rightarrow n-l),G(n)=\sum_l l^2 \Omega (n \rightarrow n-l)\)。
更进一步的处理参见1及其参考文献。