ACM数论学习（复习）笔记-1
部分摘自oiwiki
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整除的基本性质
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符号等价性
\(a \mid b \ \Leftrightarrow \ -a \mid b \ \Leftrightarrow \ a \mid -b \ \Leftrightarrow \ |a| \mid |b|\) -
传递性
\(a \mid b \ \land \ b \mid c \ \implies \ a \mid c\) -
线性组合性质
\(a \mid b \ \land \ a \mid c \ \Leftrightarrow \ \forall x, y \in \mathbb{Z}, \ a \mid (xb + yc)\) -
互整除对称性
\(a \mid b \ \land \ b \mid a \ \implies \ b = \pm a\) -
倍数缩放性（设 \(m \neq 0\)）
\(a \mid b \ \Leftrightarrow \ ma \mid mb\) -
非零约束性（设 \(b \neq 0\)）
\(a \mid b \ \implies \ |a| \leq |b|\) -
带余除法关联性（设 \(a \neq 0\)，且 \(b = qa + c\)）
\(a \mid b \ \Leftrightarrow \ a \mid c\)
一、整除：数学里的“完美分蛋糕”
什么是整除？
假设你有一块蛋糕（比如数字12），如果能把它切成若干块一样大的小份，且没有剩余，就说这个分法“整除”了蛋糕。
比如：
- 3整除12，因为12 ÷ 3 = 4（切成4块，每块3）
- 5不整除12，因为12 ÷ 5 = 2.4（切不干净，还剩0.4块）
关键性质：
- 传递性：如果3能整除6，6能整除12，那3一定能整除12。就像“小盒子装进中盒子，中盒子装进大盒子”。
- 组合性：如果5能整除10和15，那5也能整除它们的任意组合，比如 (10×2 + 15×3 = 65)，而5当然能整除65！
二、最大公约数（GCD）：找“共同好友”
什么是GCD？
比如你有两个数24和36，它们的“公约数”是能同时整除它们的数（比如2, 3, 6, 12）。而最大的那个共同约数，就是它们的GCD——这里是12。
为什么重要？
想象你要把24颗糖和36块饼干平均分给一群小朋友，最多能分给多少孩子，且每人拿到整数颗糖和饼干？答案就是GCD(24,36)=12，分给12个孩子，每人2颗糖+3块饼干。
三、欧几里得算法（GCD算法）：用减法拆解问题
最笨的方法：先列出24和36的所有约数，再找最大的。但数大了会累死人！
欧几里得的聪明办法：用“除法余数”层层简化问题。
操作步骤（以48和18为例）：
- 用大的数除以小的数：48 ÷ 18 = 2 余12
- 现在问题变成找 GCD(18, 12)
- 重复：18 ÷ 12 = 1 余6 → GCD(12,6)
- 最后：12 ÷ 6 = 2 余0 → GCD(6,0)=6
为什么可以这么做？
关键思想：如果某个数d能同时整除a和b，那它一定能整除a除以b的余数。就像“能同时装进大箱和小箱的盒子，一定能装进大箱减去小箱后剩下的空间”。
四、贝祖定理：原来方程可以这样解！
贝祖定理：对于任何整数a和b，一定存在整数x和y，使得 (ax + by = \gcd(a,b))。
举个例子：
比如a=48，b=18，它们的GCD是6。那么存在x和y，使得48x + 18y = 6。
实际解：x=-1，y=3（因为48×(-1) + 18×3 = -48 + 54 = 6）。
这个定理多有用？
比如在密码学中，RSA算法生成密钥时就需要用这个方程来找模逆元。
五、扩展欧几里得算法（ExGCD）：反向追踪答案
目标：不光算GCD，还要找到贝祖定理中的x和y。
操作步骤（以48和18为例，用“倒推法”讲故事）：
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先按欧几里得算法走到底：
- 48 = 18×2 + 12
- 18 = 12×1 + 6
- 12 = 6×2 + 0 → GCD=6
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从最后一步倒着推x和y：
- 最后一步：6 = 18 - 12×1
- 倒数第二步：12 = 48 - 18×2 → 把12代入上式：
[
6 = 18 - (48 - 18×2)×1 = 18×3 - 48×1
] - 所以x=-1，y=3（因为等式是48×(-1) + 18×3 =6）
ExGCD的递归思路：
每次递归时，把当前余数用上一步的式子表示，逐步回溯拼出x和y。就像玩拼图，从最后一块倒着拼回去。
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