2025“钉耙编程”中国大学生算法设计春季联赛（4）1004 充实

题目大意

小 hua 用一棵树模型描述自己的竞赛生涯，树上的每条从根到叶子的路径代表一个“支线”。每个节点有一个点权 $ a_i $，且越往下的节点点权越大（构成小根堆）。对于每条“支线”，我们需要判断它是否是充实的。具体来说：

• 将路径上的点权放入集合 $ S $。
• 每次可以从 $ S $ 中选择两个奇偶性相同的数 $ x, y $，并将 $ \frac{x + y}{2} $ 放入 $ S $，重复此操作若干次。
• 如果最终 $ S $ 能够覆盖从 $ \min(S) $ 到 $ \max(S) $ 的完整值域，则该路径是充实的。

给定树的结构和点权，求有多少条从根到叶子的路径是充实的。

---

解题思路

核心思想：差分数组与最大公约数 (GCD)

通过分析题目条件，可以将问题转化为对路径上点权的差分数组进行性质判断。以下是解题的关键步骤：

---

1. 差分数组的性质

对于一条路径上的点权序列 $ a_1, a_2, \dots, a_k $，我们定义其差分数组为：

\[d_i = a_{i+1} - a_i \quad (i = 1, 2, \dots, k-1) \]

观察题目中的操作规则，可以发现以下性质：

1. 操作的本质：

   • 每次操作 $ \frac{x + y}{2} $ 实际上是对差分数组中某些元素进行约简。
   • 具体来说，如果差分数组中有偶数，可以通过不断除以 2 进行约简。

2. 合法路径的充要条件：

   • 差分数组的所有元素的最大公约数 $ \gcd(d_1, d_2, \dots, d_{k-1}) $ 必须是 2 的幂次形式（即 $ \gcd(d_1, d_2, \dots, d_{k-1}) = 2^t $，其中 $ t \geq 0 $）。

因此，判断一条路径是否充实，只需计算其差分数组的 GCD 是否满足上述条件。

---

2. DFS 过程中动态维护 GCD

为了高效地统计所有路径的结果，我们可以使用深度优先搜索 (DFS) 在树上遍历：

• 从根节点开始，沿着每条路径递归向下。
• 在递归过程中，动态维护当前路径的差分数组的 GCD。
• 当到达叶子节点时，检查当前路径的 GCD 是否为 2 的幂次形式，若是则计入答案。

这种方法的时间复杂度为 $ O(n \log a) $，其中 $ n $ 是树的节点数，$ \log a $ 是计算 GCD 的复杂度。

---

3. 特殊边界处理

在实现过程中需要注意以下细节：

• 树的根节点只有一个点权 $ a_1 $，没有差分值。
• 对于单节点路径（即只有一个点），直接判定为不充实。
• GCD 的初始值设置为 0，表示尚未开始计算。

---

代码实现

以下是完整的代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

void solve() {
    int n; cin >> n;
    vector<vector<int>> G(n + 1); // 邻接表存储树
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int fa; cin >> fa;
        G[fa].push_back(i);
    }
    vector<int> a(n + 1); // 点权
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    int cnt = 0; // 记录充实路径的数量

    // 定义 DFS 函数
    function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int gc) {
        if (G[u].empty()) { // 叶子节点
            if (gc == 0 || (gc & (gc - 1)) == 0) cnt++; // 判断 gcd 是否为 2 的幂次
            return;
        }
        for (auto v : G[u]) {
            dfs(v, __gcd(gc, a[v] - a[u])); // 动态维护 GCD
        }
    };

    dfs(1, 0); // 从根节点开始 DFS
    cout << cnt << '\n';
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    int T; cin >> T;
    while (T--) solve();
}

---

代码解析

1. 输入与建图

• 使用邻接表 G 存储树的结构。
• 输入点权数组 a，并保证 $ a_{f_i} \leq a_i $。

---

2. DFS 函数

• 参数说明：
  • u：当前节点编号。
  • gc：当前路径的差分数组的 GCD。
• 递归过程：
  • 如果当前节点是叶子节点，检查 GCD 是否为 2 的幂次形式。
  • 否则，递归访问子节点，并更新 GCD。

---

3. 边界条件

• 单节点路径直接判定为不充实。
• GCD 初始值为 0，表示尚未开始计算。

---

时间复杂度

算法的时间复杂度为：

\[O(T \cdot n \cdot \log a) \]

其中：

• $ T $ 是测试数据组数。
• $ n $ 是树的节点数。
• $ \log a $ 是计算 GCD 的复杂度。

对于 $ n \leq 10^5 $ 和 $ a \leq 10^9 $，该算法可以轻松通过所有测试数据。

---