LOJ6077「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 题解

LibreOJ 6077

前置知识：生成函数、组合数

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先考虑平方怎么做。\(f_{i,j}\) 表示处理了前 \(i\) 个值，逆序对有 \(j\) 个。显然可以转移到 \(f_{i+1,j},f_{i+1,j+1},f_{i+1,j+2},...,f_{i+1,j+i}\)。然后发现这个东西是个很简单的递推，而且长得很生成函数，于是可以很自然的写成

\[1\times (1+x)\times(1+x+x^2)\times(1+x+x^2+x^3)\times... \]

显然每一个乘数都是一个等比数列，所以根据小学学的等比数列求和公式，得到：

\[\prod_{i=1}^{n} \frac{1-x^i}{1-x} =\frac{1}{(1-x)^n}\prod_{i=1}^{n} (1-x^i) \]

然后左边那个系数是一个经典的生成函数，他相当于 \((1+x+x^2+x^3+...)^n\)。显然 \(i\) 次项的系数是 \(i\) 个物品分给 \(n\) 个人且可以不拿到的方案数，即 \(i+n-1 \choose n-1\)。

比较难处理的是右边的。

首先根据它的组合意义，不难发现它本质就是 \(\prod (1+x^i)\)，只不过选奇数个物品的方案数为负，选偶数个物品的方案数为正。

那就来观察 \(\prod (1+x^i)\) 的方案数怎么算。它的 \(k\) 次项系数是满足：

• 互不相同
• 不大于 \(n\)
• 和为 \(k\)

的正整数集合数，且 \(n,k \le 10^5\)。

根据「互不相同」「和为 \(k\)」这两个条件，容易想到 「集合大小最大为 \(\mathcal{O}(\sqrt{k})\)」 的经典结论。

然后考虑 dp。设 \(dp_{i,j}\) 表示选了 \(i\) 个数，和为 \(j\) 的方案数。初值是 \(dp_{0,0}=1\)

对于当前转移对象 \(dp_{i,j}\)：

• 若 \(1\) 没被选，则可以把通过将集合内的所有数 \(+1\) 得到，此时和增加 \(i\)，即

\[dp_{i,j}\gets dp_{i,j} + dp_{i,j-i} \]

• 若 \(1\) 被选了，则可以把通过将集合内的所有数 \(+1\)，并补充一个 \(1\) 到集合内得到，此时和增加 \(i\)，即

\[dp_{i,j}\gets dp_{i,j} + dp_{i-1,j-i} \]

但是还有一条限制——「不大于 \(n\)」。

转移过程中可能会出现集合内有数 \(>n\) 的情况，但是由于每次只会集体 \(+1\)，所以那个 \(>n\) 的数一定是 \(n+1\)。因此有：

\[dp_{i,j}\gets dp_{i,j} - dp_{i-1,j-(n+1)} (j \ge n+1) \]

dp 就完成了。另外正好这个 dp 带有个数的一维，能很方便的转为 \(\prod (1-x^i)\)。所以问题就解决了。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(k \min(n,\sqrt{k}))\)。

// Author: AquariusZhao
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5, RTN = 500, MOD = 1e9 + 7;
int n, k, fac[N], inv[N], dp[RTN][N];
int ans;

inline int madd(int x, int y) { return x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y; }
inline int msub(int x, int y) { return madd(x, MOD - y); }
inline int mmul(int x, int y) { return 1ll * x * y % MOD; }
inline int qpow(int x, int y) { int res = 1, t = x % MOD;
    while (y) { if (y & 1) res = mmul(res, t);
    t = mmul(t, t); y >>= 1; }
    return res; }
inline int mdiv(int x, int y) { return mmul(x, qpow(y, MOD - 2)); }

void init(int lmt)
{
    fac[0] = inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= lmt; i++)
        fac[i] = mmul(fac[i - 1], i);
    inv[lmt] = mdiv(1, fac[lmt]);
    for (int i = lmt - 1; i >= 1; i--)
        inv[i] = mmul(inv[i + 1], i + 1);
}

int C(int x, int y)
{
    if (x < y)
        return 0;
    if (y == 0)
        return 1;
    return mmul(fac[x], mmul(inv[x - y], inv[y]));
}

int main()
{
#ifdef aquazhao
    freopen("data.in", "r", stdin);
    freopen("data.out", "w", stdout);
#endif
    init(2e5);
    cin >> n >> k;
    dp[0][0] = 1;
    int lmt = min(n, (int)(ceil(sqrt(k + k))));
    for (int i = 1; i <= lmt; i++)
        for (int j = i; j <= k; j++)
        {
            dp[i][j] = madd(dp[i][j - i], dp[i - 1][j - i]);
            if (j >= (n + 1))
                dp[i][j] = msub(dp[i][j], dp[i - 1][j - (n + 1)]);
        }
    for (int i = 0; i <= k; i++)
    {
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j <= lmt; j++)
            sum = j & 1 ? msub(sum, dp[j][i]) : madd(sum, dp[j][i]);
        ans = madd(ans, mmul(C(k - i + n - 1, n - 1), sum));
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}