BZOJ 2006 [NOI2010] 超级钢琴

DescriptionDescription
有 nn 个音符，编号为 11 至 nn 。第 ii 个音符的美妙度为 AiAi 。

我们要找到 kk 段超级和弦组成的乐曲，每段连续的音符的个数 xx 满足 L≤x≤RL≤x≤R ，求乐曲美妙度的最大值。

SolutionSolution
贪心 + 堆 + RMQ

首先可以看到，每段超级和弦都是连续的，美妙度是这段区间内所有美妙度的和。可以想到，每次求解区间和显然是不合算的，所以考虑到用前缀和。

考虑暴力，我们需要把所有满足条件的字段抽出来排个序，但这实在是不可想象。所以考虑使用贪心思想来解决这个问题。

先想预处理。我们定义 MAX(o,l,r)=max{sum(o)−sum(t−1) | l≤t≤r}MAX(o,l,r)=max{sum(o)−sum(t−1) | l≤t≤r} ,即以 oo 为右端点，左端点范围是 [l,r][l,r] 的最大子段。求 sum()sum() 就用前面说的前缀和。可以看出，oo 的位置是固定的。所以 sum(o)sum(o) 也是固定的。所以我们要求这个的最大值，只要 sum(t−1)sum(t−1) 最小就可以了。即要求 sum(t−1)sum(t−1) 在 [l,r][l,r] 中的最小值，那怎么快速地求出这个最大值呢？很显然，这不是 RMQRMQ 的活么。对 RMQRMQ 不熟悉的可以参考这 。当然，具体计算的时候还要看看下界 ll 是否低于了 11 。

接下来想怎么贪心。我们可以每次都选最优的子段，这样选 kk 次显然就是我们所要的结果，那怎么找到最优解呢？用堆来将解存进去，每次堆顶的元素就是最优解。

考虑一个三元组 (o,l,r)(o,l,r) 表示以 oo 为右端点，左端点的选择区间为 [l,r][l,r] 的 情况，我用了一个 structstruct 来表示这个三元组，但往往实际上每个情况需要额外记录这个情况的最优解 tt ，这个不麻烦，在 structstruct 里面敲一个构造函数就可以了。

我们假设当前最大的三元组是 (o,l,r)(o,l,r) 。最优解位置是 tt 。ansans 累加这个三元组的贡献。由于 tt 已经被选中，对于这个 oo， tt 已经不能重复选中，但最优解还可能存在于 tt 左右的两端区间中，所以提取出 (o,l,r)(o,l,r) 之后，为了避免重复且不丧失其他较优解，我们仍然要把 (o,l,t−1)(o,l,t−1) , (o,t+1,r)(o,t+1,r) 扔回堆里面去。显然地，在放回去之前应该保证区间的存在，即 l=tl=t 或 r=tr=t 的情况要进行特判。

最后实现的时候还要注意一点，RMQRMQ 原本数组里面记录的是最优解的值，但我们查询区间最大值的时候查询的是最优解的位置。所以数组里面存的是最优解的位置，要特殊处理。

CodeCode
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXN 500005
#define LOG 20
#define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
#define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
long long sum[MAXN], ST[MAXN][LOG];
namespace RMQ {
int calc(int x, int y) {
return sum[x - 1] < sum[y - 1] ? x : y;
}
void init(int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++) ST[i][0] = i;
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
ST[i][j] = calc(ST[i][j - 1], ST[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
int query(int l, int r) {
int k = log2(r - l + 1);
return calc(ST[l][k], ST[r - (1 << k) + 1][k]);
}
}
struct element {
int o, l, r, t;
element() {}
element(int o, int l, int r) : o(o), l(l), r(r), t(RMQ::query(l, r)) {}
friend bool operator < (const element& a, const element& b) {
return sum[a.o] - sum[a.t - 1] < sum[b.o] - sum[b.t - 1];
}
};
std::priority_queue< element > Q;
int main() {
int n, k, L, R;
scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &L, &R);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lld", &sum[i]);
sum[i] += sum[i - 1];
}
RMQ::init(n);
for (int i = L; i <= n; i++)
Q.push(element(i, max(1, i - R + 1), i - L + 1));
long long ans = 0;
while (k--) {
int o = Q.top().o, l = Q.top().l, r = Q.top().r, t = Q.top().t;
Q.pop();
ans += sum[o] - sum[t - 1];
if (l != t) Q.push(element(o, l, t - 1));
if (t != r) Q.push(element(o, t + 1, r));
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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