一道函数题，网上好多解答或者错误或者不够清晰

缘起

今天在看这本书（2014年4月第9次印刷），教材作业本30页的第18题（整理笔记的时候发现这题早在15页就出现了。）的解答我一时没看懂，而且我猜出了另外一个答案，所以断定书中的解答有误。但我自己一时间又不能把两者整理在一起，所以上网搜个解答看看。结果有点失望。
菁优的解答和魔方格的这个解答不够清晰，而百度知道的这个解答是错误的。
目前找到的最好的解答是这个。

下面的解答与菁优的类似，但我觉得我这么写更易懂。

题目

已知函数 \(f(x)=\frac{x}{ax+b}\) （\(a\), \(b\) 是常数，且 \(a\neq 0\)）满足 \(f(2)=1\), 且方程 \(f(x)=x\) 有唯一解。 求 \(f(x)\) 的解析式。

解答

\(\dfrac{x}{ax+b}=x\) 有唯一解，等价于 \(x=x(ax+b)\) 只有唯一解，或者此方程有两个解，但其中一个解是原分式方程的增根，即 \(x=-\frac{b}{a}\)。（注意变形的等价性）

1. 若有唯一解，则 \(\Delta=0\)，于是 \(b=1\). 利用 \(f(2)=1\)，可得 $$f(x)=\dfrac{2x}{x+2}.$$

2. 有两个解时，将 \(x=-\frac{b}{a}\) 代入方程 \(x=x(ax+b)\)，得 \(-\frac{b}{a}=0\), \(b=0\) ，于是 \(f(x)=\dfrac{x}{ax}=\dfrac{1}{a}\) （\(x\neq 0\)）. 再根据 \(f(2)=1\)，于是 $$f(x)=1 (x\neq 0) $$