考试题目总结5

反转 Dag 图

先读题，是要求最大值最小，不要读错了。

考虑二分答案，这种类型的二分最好先对边权排序，再二分哪个边是代价最大的。

证明：反转边和删除边本质是一样的。

假设当前图经过删边已变成 Dag 图，令 \(top_i\) 为点 \(i\) 的拓扑序。

依次去添边 \((u, v)\)，如果 \(top_u > top_v\)，则添加边 \((v, u)\)，否则添加边 \((u, v)\)，而新构成的图和原图的拓扑序相等，则意味着新图也是 Dag 图。

check：因为已证明反转边和删除便本质是一样的，所以可以删除二分的那些边，判断剩下的图是否是 Dag 即可。

歪脖子树

千万不要以为这题是纯数据结构题。

首先如果没有换根操作，那么直接用数据结构维护。

那么如果有换根操作，先认为根没有变化，如果询问 \(u\) 子树的最大值时，若现根在子树内，稍作思考可以想到在现根下的树的 \(u\) 的子树的最大值为 \(1 \sim N\) 的部分 - \(u\) 的儿子 \(v\) 的子树的部分。( \(v\) 是离现根最近的那个儿子。 )

倒水问题

观察到将 \(> \lfloor \frac{G}{2} \rfloor\) 的部分倒掉，稍作思考发现在一组数据内最坏至少进行 \(\lceil \log_{2} A_i \rceil\) 次操作。

先按 \(A_i\) 的水量进行排序。

考虑设计状态 \(dp_{i, j}\) 表示考虑前 \(i\) 个水杯进行 \(j\) 次操作最少需要倒掉几个水杯。

1. 选择倒掉 \(i\) 号水杯，\(dp_{i, j} = dp_{i - 1, j} + 1\)。
2. 对 \(i\) 号水杯进行操作，\(dp_{i, j} = dp_{x, j - 1}\)，其中 \(x\) 表示满足 \(A_x \le \lfloor \frac{A_i}{2} \rfloor\) 的最小值。

树的颜色

我再研究研究这题还不会做。