考试题目总结2

\(P9187\)

首先处理字符串过于复杂，时间复杂度还会较高，而字符串只会有 \(G\) 和 \(H\)，\(2^c \le 3 \times 10^5\)，所以先将字符串转成二进制会更优，令第 \(i\) 个字符串转成的二进制为 \(A_i\)。

\(25\) 分

观察到 \(2^c \le N\)，所以 \(A_1 \sim A_N\)，为了加快效率我们只对这 \(2^c\) 种不同的二进制计算答案。

对于两个二进制 \(X\) 和 \(Y\)，显然他们的差异值为 \(X \oplus Y\) 中二进制下一的数量，所以我们可以预处理出每个二进制数一的个数。

时空复杂度：

时间复杂度：\(O(2^{2c})\)。

空间复杂度：\(O(2^c)\)。

\(45\) 分

依次枚举 \(i\)。

考虑设计状态：

初始状态：\((A_i, 0)\)。

状态：\((S, cnt)\) 表示 \(A_i\) 与 \(S\) 的差异值为 \(cnt\)。

转移：\((S, cnt) \rightarrow (S \oplus 2^i, cnt + 1)\)。

由于边权只有 \(1\)，使用广度优先搜索。

但还不够，时间复杂度已经超标了。

考虑重新设计初始状态和转移：

初始状态：\((A_i 取反, C)\)

转移：\((S, cnt) \rightarrow (S \oplus 2^i, cnt - 1)\)。

时间复杂度：\(O(N \times (C(c, 0) + C(c, 1) + C(c, 2) + C(c, 3)))\)

空间复杂度：\(O(N \times (C(c, 0) + C(c, 1) + C(c, 2) + C(c, 3)))\)

100分

令 \(dist(i, j)\) 表示二进制 \(i\) 与 \(j\) 的差异值。

\(dist(i, j) = c - dist(i, j 取反)\)，取反后相等的数变成不等的了，不等的数变成相等的了，所以 \(dist(i, j 取反)\) 所得的结果是 \(i\) 与 \(j\) 在二进制下有多少位相等，用整体的位数减去相等的位数就是不等的位数了。

因为差异值是 \(c - dist(i, j 取反)\)，那么为了想求出 \(i\) 与某个数的最大差异值，所以我们可以将问题转化为求 \(j\) 取反走到 \(i\) 的最小值，这样就可以多元广度优先搜索求解，那为什么之前的状态不行呢？因为之前求的是最大值，第一次遍历到的状态不一定是最优的。

P3066

70分

由于 \(1 \le p_i < i\)，所以不需要使用递归，常数较小。

直接暴力求解。

时空复杂度：

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

空间复杂度：\(O(n)\)

100分

发现一条性质：若 \(i\) 到自己的 \(x\) 级祖先之间的距离 \(\le t\)，那么 \(i\) 到自己的 \(x - 1\) 级祖先之间的距离也 \(\le t\)。\((x > 1)\)。

这里就可以使用倍增或二分。

找到自己最大的 \(x\) 级祖先和自己的距离 \(\le t\)，可以使用点差分进行优化。

因为这里需要先求出 \(x\) 级祖先所以这里使用倍增时间复杂度更优。

时空复杂度：

时间复杂度：\(O(N \log_{2} N)\)。

空间复杂度：\(O(N \log_{2} N)\)

P8191

1~3号点

容易看出此题是 MST，然后暴力建边。

时空复杂度：

时间复杂度：\(O(N^2 \log_{2} N^2)\)

空间复杂度：\(O(N^2)\)

100分

看到 \(0 \le y \le 10\)，我们对于每一个值的 \(y\) 找到最接近的 \(x\) 并与它建边。

时空复杂度：

时间复杂度：\(O(20 \times N \log_{2} {20 \times N})\)

空间复杂度：\(O(20 \times N)\)