【图论 搜索】bzoj1064: [Noi2008]假面舞会

做到最后发现还是读题比赛;不过还是很好的图论题的

Description

一年一度的假面舞会又开始了,栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号,主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感,主办方把面具分为k (k≥3)类,并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上,只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号,戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具,但是栋栋对此却特别好奇,他想自己算出有多少类面具,于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号,他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号,因此,栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算,按照栋栋目前得到的信息,至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3,所以你必须将这条信息也考虑进去。

Input

第一行包含两个整数n, m,用一个空格分隔,n 表示主办方总共准备了多少个面具,m 表示栋栋收集了多少条信息。接下来m 行,每行为两个用空格分开的整数a, b,表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a, b 在输入文件中可能出现多次。

Output

包含两个数,第一个数为最大可能的面具类数,第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少3 类,使得这些信息都满足,则认为栋栋收集的信息有错误,输出两个-1。

Sample Input

【输入样例一】
6 5
1 2
2 3
3 4
4 1
3 5
【输入样例二】
3 3
1 2
2 1
2 3

Sample Output

【输出样例一】
4 4

【输出样例二】
-1 -1

HINT

100%的数据,满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。


题目分析

naive

首先会有一个很naive的想法:

对于无环的图找最大值:拓扑地从1开始标号dfs做下去,中途检查边$(u,v)$,若$v$已经被标号且$col_v≠col_u+1$,就是不合法的,随即输出"-1  -1"。

讲上去求的是最大值所以看上去很对劲是吧?

但是遇上这么一个环呢?7之后连的是2,所以判成无解。但是然而实际上$k=3$是成立的。

也就是说,简单地考虑“环缩点”或者“直接染色”是行不通的。

实际做法

学了tarjan之后不要在找环只想到tarjan!

这个问题其实建个反向边之后,可以分为两类:

  1. 有环的
  2. 没环的

没环的情况:树是很简单的,最大值就是所有树的最长链总和,最小值一定是3。

有环的情况:

DFS听上去很基础吧,但是切不要以为基础的东西就没什么用处。

这里依靠DFS找出每一个环的长度,并且注意到最大答案就是所有环长度的gcd。只要最终的$gcd≥3$,结合没环情况的下界可知环外其他树对答案不造成影响。

可能会想到环套环的情况。不过首先这个DFS要永久标记访问,复杂度是$O(n)$的,不会被卡;其次我们求的是环长度的gcd,并且如果答案合法,大环长度一定是小环的倍数,所以即便大环套在小环外,也不影响最终答案。

大致思路就是这样。

细节注意树的情况,最大值是所有树的最长链总和!

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 const int maxn = 100035;
 3 const int maxm = 1000035;
 4 
 5 struct node
 6 {
 7     int id;
 8     std::vector<int> norEdge,difEdge;
 9 }a[maxn];
10 int n,m,cnt,mn,mx,chain,ans;
11 bool vis[maxn];
12 std::pair<int, int> edges[maxm];
13 
14 int read()
15 {
16     char ch = getchar();
17     int num = 0;
18     bool fl = 0;
19     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
20         if (ch=='-') fl = 1;
21     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
22         num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
23     if (fl) num = -num;
24     return num;
25 }
26 int gcd(int x, int y){return !y?x:gcd(y, x%y);}
27 void addedge(int x)
28 {
29     int u = edges[x].first, v = edges[x].second;
30     a[u].norEdge.push_back(v), a[v].difEdge.push_back(u);
31 }
32 void dfs(int x, int lb)
33 {
34     if (vis[x]){
35         ans = gcd(ans, abs(a[x].id-lb));    //找到一个环了
36         return;
37     }
38     a[x].id = lb, vis[x] = 1;
39     mn = std::min(mn, lb), mx = std::max(mx, lb);
40     int sa = a[x].norEdge.size(), sb = a[x].difEdge.size();
41     for (int i=0; i<sa; i++)
42         dfs(a[x].norEdge[i], lb+1);      //正向边
43     for (int i=0; i<sb; i++)
44         dfs(a[x].difEdge[i], lb-1);      //反向边
45     return;
46 }
47 int main()
48 {
49     // freopen("testdata.in","r",stdin);
50     n = read(), m = read();
51     for (int i=1; i<=m; i++)
52         edges[i].first = read(), edges[i].second = read();
53     std::sort(edges+1, edges+m+1);      //用pair存边方便去重
54     addedge(1);
55     for (int i=2; i<=m; i++)
56         if (edges[i]!=edges[i-1])
57             addedge(i);
58     for (int i=1; i<=n; i++)
59         if (!vis[i]){    //由于建了双向边,故不用考虑拓扑序
60             dfs(i, 0);
61             chain += mx-mn+1;
62             mn = mx = 0;
63         }
64     if (ans >= 3){    //如果有环并且合法
65         for (int i=3; i<=ans/2; i++)
66             if (ans%i==0){
67                 printf("%d %d\n",ans,i);  //找最小的答案——求最小约数
68                 return 0;
69             }
70         printf("%d %d\n",ans,ans);      //最小答案还是ans
71         return 0;
72     }
73     if (!ans&&chain>=3){
74         printf("%d %d\n",chain,3);
75         return 0;
76     }          //否则不合法,ans=1
77     printf("-1 -1\n");
78     return 0;
79 }

 

 

 

 

END

posted @ 2018-07-12 18:28  AntiQuality  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏